جدول الصدق لأي تعبير منطقي

الأقواس أولًا، ثم النفي، ثم الوصل، ثم الفصل ومعه الفصل الحصري، ثم الاستلزام، وأخيرًا التكافؤ. فالتعبير ‎~A ∧ B ∨ C ∧ D‎ يعني ‎((~A) ∧ B) ∨ (C ∧ D)‎. وثمة حالة لا قاعدة واحدة لها: سلسلة استلزامات بلا أقواس. فالمنطق الرياضي يقرأ ‎A → B → C‎ على أنها ‎A → (B → C)‎، وبعض المقررات تحسبها من اليسار إلى اليمين. والاستلزام ليس تجميعيًّا، فتعطي القراءتان جدولين مختلفين — ولذلك تبيّن الأداة أي قراءة استعملت وتتيح لك التبديل.

الاستلزام ‎A → B‎ وعدٌ: «إذا كان A فإن B». ولا يُنكث إلا حين يتحقق A ولا يتحقق B — وهذا هو الصف الوحيد ‎1 → 0 = 0‎. فإذا كان A خاطئًا لم يُختبر الوعد أصلًا، فيُعدّ محفوظًا، وتكون قيمة الاستلزام 1. ولهذا كان جدول ‎A → B‎ هو نفسه جدول ‎~A ∨ B‎، وبهذه الصيغة بالذات تستبدل الأداة الاستلزام عند التبسيط.

صيغة DNF التامة تأخذ وصلًا واحدًا لكل المتغيّرات (حدًّا أصغر) عن كل صف فيه F = 1، فالدالة التي تساوي 1 في ستة صفوف لها ستة حدود طويلة. والتبسيط يدمج الحدود التي تختلف في متغيّر واحد: ‎A∧B∧C ∨ A∧B∧~C = A∧B‎. وهذه الحدود في خريطة كارنوف خانات متجاورة، والمجموعة المؤلفة من خانتين أو 4 أو 8 خانات تصير حدًّا قصيرًا واحدًا. وطريقة كواين–ماكلوسكي تجري الدمج نفسه بانتظام ثم تختار أقل مجموعة من الحدود كلفةً تغطي كل الآحاد.

اكتب صفوف الجدول الكامل التي تأخذ فيها F القيمة المعطاة في الجزء — وهي قليلة عادةً. ثم ابحث عمّا يجمعها: فإذا كان ‎y = 1‎ كلما كان ‎F = 0‎، فالعمود الذي فيه 0 في صف يكون فيه ‎F = 0‎ لا يمكن أن يكون y. بعدها خذ أكثر صفوف الجزء دلالةً وانظر أي الصفوف الكاملة يمكن أن يكونه؛ وصفوف الجزء كلها مختلفة، وهذا يستبعد احتمالات أخرى. ووضع «لغز الأعمدة» يفعل ذلك بالضبط ويكتب كل خطوة.

كثيرة حدود جيغالكين (الصيغة العادية الجبرية) تكتب أي دالة بوليانية بالوصل وXOR والثابت 1 فقط، وهي وحيدة لكل دالة — وسيلة مريحة لمقارنة الدوال واختبار الخطّية. أما أصناف بوست الخمسة فتجيب عن سؤال آخر: هل يمكن بناء كل دالة من مجموعة معيَّنة من البوابات؟ بحسب مبرهنة بوست تكون المجموعة تامة إذا وفقط إذا احتوت، لكل صنف من الخمسة، دالةً خارج ذلك الصنف. وNAND وNOR ليستا في أيٍّ منها، ولذلك تكفي كلٌّ منهما وحدها لبناء أي دائرة.