Funktionsgraph: Nullstellen, Extrema und Asymptoten

Der Funktionsplotter zeichnet eine Funktion aus ihrer Formel und beantwortet sofort die Fragen, für die man Graphen zeichnet: wo die Funktion null wird, wo ihre Extrempunkte und Asymptoten liegen, wo sich zwei Graphen schneiden und auf welchen Intervallen sie steigt. Alle Berechnungen laufen im Browser, deshalb wird der Graph bei jedem Tastendruck und jeder Bewegung des Schiebereglers neu gezeichnet.

So zeichnen Sie einen Funktionsgraphen

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Geben Sie eine Formel wie x^2 - 4 oder y = kx + b ein. Enter fügt eine neue Zeile hinzu — eine weitere Funktion im selben Koordinatensystem.

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Lesen Sie die Ergebnisse unter den Formeln: Ein Tipp auf eine Zahl zeigt den Punkt. Ziehen Sie den Graphen zum Verschieben, zoomen Sie mit dem Rad oder zwei Fingern.

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Öffnen Sie „Kurvendiskussion“ für Intervalle, Tangente und Fläche und speichern Sie das Ergebnis als PNG, CSV oder Link.

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Formel eingeben und Nullstellen, Extrempunkte und Schnittpunkte ablesen

Ziehen zum Verschieben · Rad oder zwei Finger zum Zoomen · tippen für einen Punkt

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Funktionen

Ergebnisse als Zahlen: Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Minima und Maxima, senkrechte und schiefe Asymptoten — ein Tipp auf eine Zahl zeigt den Punkt auf dem Graphen.
Parameter-Schieberegler: In y = kx + b werden k und b von selbst zu Schiebereglern, und die Taste ▶ zeigt als Animation, wie sich der Graph mit dem Parameter ändert.
Kurvendiskussion: Definitionsbereich, Symmetrie, Periode, Vorzeichen- und Monotonieintervalle, Wendepunkte, Tangente in einem Punkt und Fläche unter der Kurve.
Mehr als y = f(x): Ungleichungen mit schattiertem Bereich, Kreise und andere implizite Kurven, Polarkurven r = f(θ), Parameterkurven (x(t), y(t)) und Punkte.
Ein Sprung wird als Sprung gezeichnet: Tangens und Hyperbel haben keine falsche senkrechte Linie, Asymptoten erscheinen gestrichelt.
Wertetabelle mit eigener Schrittweite als CSV, der Graph als PNG mit Funktionsbeschriftung und ein Link, der denselben Graphen mit denselben Parametern öffnet.

Was sich zeichnen lässt

  • Parabeln und Polynome: x^2 - 4, x^3 - 3x, a(x - m)^2 + n mit Schiebereglern
  • Gebrochen rationale Funktionen mit Asymptoten: 1/x, (2x + 1)/(x - 3), x + 1/x
  • Trigonometrie mit x-Achse in π: sin x, tan x, 2sin(3x)
  • Logarithmus- und Exponentialfunktionen: ln x, 2^x, e^(-x)
  • Ungleichungen und Kreise: y > x^2 - 2, x^2 + y^2 = 9
  • Polar- und Parameterkurven: r = 2sin(3θ), (cos 3t, sin 2t)

Was das Eingabefeld versteht

Zahlen mit Komma oder Punkt, implizite Multiplikation (2x, kx, 3sin(x), (x+1)(x-1)), Funktionen ohne Klammern (sinx, ln x), Potenzen mit ^ und hochgestellten ², ³, Betrag mit senkrechten Strichen. Funktionen: sin, cos, tan, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, ln, log10, log2, log(Basis, Zahl), sqrt, cbrt, abs, exp, sign, floor, ceil, round, min, max. Konstanten pi und e, Winkel im Bogenmaß. Die CSV-Tabelle wird mit Dezimalkomma und Semikolon zwischen den Spalten geschrieben — so öffnet sie ein deutsches Excel direkt in Spalten.

Worin er sich von einem gewöhnlichen Plotter unterscheidet

Die meisten Plotter zeichnen die Kurve und hören dort auf: Wo sie die Achse schneidet und wo ihr Scheitel liegt, muss man am Gitter mit dem Auge ablesen. Hier werden diese Zahlen berechnet und neben dem Graphen aufgelistet — zusammen mit Asymptoten, Schnittpunkten und Monotonieintervallen. So lässt sich eine Kurvendiskussion überprüfen, ohne alles von Hand neu zu rechnen. Ein Parameter in der Formel wird zum Schieberegler, also lässt sich eine Frage wie „Für welches k berührt die Gerade die Parabel?“ mit der Hand beantworten. Und der Tangens bekommt keinen senkrechten Strich, den die Funktion nicht hat.

Häufige Fragen

Warum gibt es an der Sprungstelle von tan x keine senkrechte Linie?

Weil die Funktion keine solche Linie hat. Bei π/2 ist der Tangens nicht definiert: Links läuft er gegen plus unendlich, rechts kommt er von minus unendlich zurück. Ein Plotter, der beide Stücke mit einer Strecke verbindet, zeichnet eine Linie, die es nicht gibt, und sie sieht aus wie ein Teil des Graphen. Hier wird der Sprung erkannt, der Stift abgesetzt, und die Asymptote x = π/2 erscheint als dünne gestrichelte Linie und in den Ergebnissen.

Wie bekomme ich einen Schieberegler für einen Parameter wie k in y = kx + b?

Schreiben Sie den Buchstaben einfach in die Formel. Jeder einzelne lateinische Buchstabe außer x, y und e wird zum Parameter: Unter den Formeln erscheint ein Schieberegler mit Wert und veränderbaren Grenzen. Die Taste ▶ fährt den Parameter vom Minimum zum Maximum und zurück, damit Sie sehen, wie sich der Graph ändert. Die Parameterwerte stehen im Link, also öffnet jemand anderes den Graphen mit denselben k und b.

Wie zeichne ich einen Kreis, eine Ungleichung oder eine Polarkurve?

So, wie das Schulbuch sie schreibt. x^2 + y^2 = 9 ist ein Kreis mit Radius 3 (implizite Kurven nutzen gleiche Maßstäbe auf beiden Achsen, damit ein Kreis nicht wie eine Ellipse aussieht); y > x^2 - 2 ist der Bereich über der Parabel, in der Farbe der Funktion schattiert, mit gestrichelter Grenze bei einer echten Ungleichung. r = 2sin(3θ) ist eine Polarrose und (cos t, sin t) eine Parameterkurve; die Grenzen von t lassen sich unter der Zeile ändern.

Wie genau sind Nullstellen, Extrempunkte und Asymptoten?

Nullstellen werden per Bisektion auf sechs Nachkommastellen eingegrenzt und durch Einsetzen geprüft; Extrempunkte findet der Goldene Schnitt. Eine senkrechte Asymptote wird von einer hohen Spitze am Wachstum unterschieden: Nahe einer Asymptote wächst der Wert unbeschränkt, nahe einer Spitze nicht. All das wird im sichtbaren Bereich gesucht, während Symmetrie, Periode und Asymptoten im Unendlichen durch Einsetzen vieler Punkte geprüft werden. Das sind numerische Antworten: gut zum Kontrollieren einer Lösung, kein Ersatz dafür, sie aufzuschreiben.

Kann ich 2x, kx und sinx ohne Malzeichen oder Klammern schreiben?

Ja. Das Feld liest Schulschreibweise: 2x, kx + b, 3sin(x), sinx, (x+1)(x-1), |x|, x². Lässt sich ein Ausdruck trotzdem nicht lesen, nennt die Meldung unter dem Feld den unbekannten Namen und das Zeichen, an dem das Lesen abbrach.

Warum wird der Graph manchmal zu einer flachen Linie?

Das passiert bei einer Funktion mit Asymptote: Ein riesiger Wert streckt die senkrechte Achse, und alles andere wird zur Null hin gestaucht. Deshalb werden beim Anpassen der Y-Achse die oberen und unteren zwei Prozent der Werte ignoriert. Reicht das nicht, schalten Sie rechts am Graphen die Pfeiltaste „Y-Achse anpassen“ aus und verschieben oder zoomen den Graphen selbst.

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