Графік функції: нулі, екстремуми та асимптоти
Інструмент будує графік функції за формулою й одразу відповідає на запитання, заради яких графік будують: де функція дорівнює нулю, де її точки екстремуму та асимптоти, де перетинаються два графіки і на яких проміжках вона зростає. Усі обчислення виконуються в браузері, тому графік перемальовується з кожним натисканням клавіші й кожним рухом повзунка.
Як побудувати графік функції
Введіть формулу, наприклад x^2 - 4 або y = kx + b. Enter додає новий рядок — ще одну функцію на тих самих осях.
Прочитайте відповіді під формулами: натискання на число показує точку. Графік зсувається перетягуванням, масштаб — колесом або двома пальцями.
Відкрийте «Дослідження функції» — там проміжки, дотична й площа — і збережіть результат як PNG, CSV або посилання.
Введіть формулу — і побачите нулі, вершини та точки перетину
Тягніть, щоб зсунути · колесо або два пальці — масштаб · натискання — точка
Аркуш дослідження у PDF — графік, відповіді, проміжки й таблиця значень на одній сторінці для друку — входить до Преміум. Що входить до Преміум
Особливості
Що можна побудувати
- Параболи й многочлени: x^2 - 4, x^3 - 3x, a(x - m)^2 + n з повзунками
- Дробово-раціональні функції з асимптотами: 1/x, (2x + 1)/(x - 3), x + 1/x
- Тригонометрію з віссю x у кратних π: sin x, tg x, 2sin(3x)
- Логарифми й показникові функції: ln x, 2^x, e^(-x)
- Нерівності й кола: y > x^2 - 2, x^2 + y^2 = 9
- Полярні й параметричні криві: r = 2sin(3θ), (cos 3t, sin 2t)
- Графіки руху з фізики: x = 5 + 4t, x = 2 + 3t − t², v = 3 − 2t і зустріч двох тіл
Що розуміє поле введення
Числа з крапкою й комою, неявне множення (2x, kx, 3sin(x), (x+1)(x-1)), функції без дужок (sinx, ln x), степені через ^ і надрядкові ², ³, модуль вертикальними рисками. Функції: sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, sinh, cosh, tanh, ln, lg, log(основа, число), sqrt, cbrt, abs, exp, sign, floor, ceil, round, min, max. Сталі pi та e, кути в радіанах. Таблиця CSV записується з десятковою комою й крапкою з комою між стовпцями — так її одразу по стовпцях відкриває Excel з українськими налаштуваннями.
Чим відрізняється від звичайного побудовника
Більшість побудовників малюють криву й на цьому зупиняються: де вона перетинає вісь і де її вершина, доводиться визначати на око по клітинках. Тут ці числа обчислено й виписано поруч із графіком разом з асимптотами, точками перетину та проміжками монотонності — тож відповідь до завдання «побудуйте графік і дослідіть функцію» можна перевірити, не перераховуючи все вручну. Параметр у формулі стає повзунком, тому на запитання на кшталт «за якого k пряма дотикається до параболи» можна відповісти рухом руки. А в тангенса немає вертикальної риски, якої немає у функції.
Часті запитання
Чому там, де розривається tg x, немає вертикальної лінії?
Бо у функції такої лінії немає. У точці π/2 тангенс не визначений: ліворуч прямує до плюс нескінченності, праворуч повертається з мінус нескінченності. Побудовник, що з’єднує ці два шматки відрізком, малює лінію, якої не існує, і вона виглядає частиною графіка. Тут стрибок розпізнається, перо піднімається, а асимптота x = π/2 малюється тонким пунктиром і потрапляє до відповідей.
Як отримати повзунок для параметра, наприклад k у y = kx + b?
Просто напишіть букву у формулі. Будь-яка одна латинська буква, крім x, y та e, стає параметром: під формулами з’являється повзунок зі значенням і межами, які можна змінити. Кнопка ▶ проводить параметр від мінімуму до максимуму й назад, щоб було видно, як змінюється графік. Значення параметрів зберігаються в посиланні, тож інша людина відкриє графік із тими самими k і b.
Як побудувати коло, нерівність або полярну криву?
Так, як їх записує підручник. x^2 + y^2 = 9 — коло радіуса 3 (для неявних кривих масштаб осей однаковий, щоб коло не здавалося еліпсом); y > x^2 - 2 — область над параболою, заштрихована кольором функції, зі штриховою межею для строгої нерівності. r = 2sin(3θ) — полярна троянда, (cos t, sin t) — параметрична крива; межі t змінюються під рядком.
Як побудувати графік руху x = 5 + 4t або швидкості v = 3 − 2t?
Запишіть закон так, як його дано в задачі: x = 5 + 4t, x(t) = 2 + 3t − t², v = 3 − 2t. Рядок з літерою x, v, a, s або h і змінною t інструмент читає як функцію часу: по горизонталі відкладається t ≥ 0 у секундах, біля осей підписано одиниці. У відповідях — початкова координата x₀, початкова швидкість v₀, прискорення a, вид руху та рівняння швидкості, а кнопка під ними додає графік v(t). Для задачі на зустріч запишіть обидва закони, наприклад x1 = 4t і x2 = 30 − 2t: час і місце зустрічі пораховано точно, навіть якщо вони за краєм графіка. Шлях за графіком швидкості — площа під ним, її рахує «Інтеграл і площа під кривою» в «Дослідженні функції».
Наскільки точні нулі, точки екстремуму та асимптоти?
Нулі уточнюються поділом навпіл до шести знаків після коми й перевіряються підстановкою; точки екстремуму знаходить метод золотого перетину. Вертикальну асимптоту від високого піку відрізняє характер зростання: біля асимптоти значення росте необмежено, біля піку — ні. Усе це шукається у видимій області, а парність, період і асимптоти на нескінченності перевіряються підстановкою багатьох точок. Це чисельні відповіді: добрі для перевірки розв’язку, але не заміна його запису.
Чи можна писати 2x, kx і sinx без знака множення та дужок?
Так. Поле читає шкільний запис: 2x, kx + b, 3sin(x), sinx, (x+1)(x-1), |x|, x². Кирилична «х» розуміється як латинська. Якщо вираз усе ж не вдалося прочитати, повідомлення під полем назве невідоме ім’я й символ, на якому зупинилося читання.
Чому графік іноді сплющується в лінію?
Так буває з функцією, що має асимптоту: одне величезне значення розтягує вертикальну вісь, і все інше притискається до нуля. Тому під час підбору масштабу по Y верхні й нижні два відсотки значень не враховуються. Якщо цього мало, вимкніть кнопку зі стрілками «Підібрати масштаб по Y» праворуч від графіка й зсуньте чи наблизьте графік самі.
Експерти з теми
Розберіть задачу з фахівцем — заняття або консультація онлайн, час у вашому часовому поясі.
Звичайно! Просто надішліть нам коротке повідомлення з вашою ідеєю. Якщо хочете обговорити детальніше — залиште email, і ми зв’яжемося з вами. Можна залишитися анонімом.