Ableitungsrechner und Integralrechner mit Rechenweg

Ein Online-Rechner für Ableitungen, unbestimmte und bestimmte Integrale und Grenzwerte, der den Lösungsweg so zeigt, wie er ins Heft geschrieben wird: Jeder Schritt nennt seine Regel und schreibt die Formel aus. Die Stammfunktion wird durch Ableiten geprüft, die Ableitung numerisch und der Grenzwert mit einer Wertetabelle nahe der Stelle — so lässt sich das Ergebnis nachprüfen, statt ihm blind zu vertrauen.

So bestimmen Sie Ableitung, Integral oder Grenzwert

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Wählen Sie, was berechnet werden soll, und geben Sie die Funktion ein — zum Beispiel x^2 sin x oder (1+1/x)^x. Unter dem Feld sehen Sie, wie die Eingabe gelesen wurde.

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Ergebnis und Probe erscheinen sofort; für ein bestimmtes Integral geben Sie die Grenzen an, für einen Grenzwert die Stelle.

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Unter dem Ergebnis stehen der Lösungsweg und der Graph: Wechseln Sie die Ausführlichkeit, kopieren Sie die Lösung oder speichern Sie ein PDF.

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Geben Sie eine Funktion ein und verfolgen Sie jede Regel der Lösung

Funktion

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Eine Aufgabe zum gewählten Thema mit anderen Zahlen: Lösen Sie sie auf Papier und geben Sie Ihr Ergebnis ein. Jede richtige Schreibweise zählt — 2 sin x cos x und sin 2x sind dasselbe, und die Konstante C einer Stammfunktion spielt keine Rolle.

Schreibweise
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Funktionen

Ableitungen bis zur fünften Ordnung nach den Regeln: Summen-, Faktor-, Produkt- und Quotientenregel, Kettenregel mit ausdrücklich genannter äußerer und innerer Funktion, logarithmisches Differenzieren für xˣ; partielle Ableitungen, implizite Funktionen F(x, y) = 0 und Kurven in Parameterdarstellung x(t), y(t) mit zweiter Ableitung.
Integrale: Grundintegrale, lineare Substitution, Integration durch Substitution, partielle Integration (auch „Phönix aus der Asche“ bei ∫eˣ sin x dx), Partialbruchzerlegung, Potenzreduktion, die Substitution t = tan(x/2); bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz, uneigentliche über einen Grenzwert.
Grenzwerte: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — Kürzen, Erweitern mit dem konjugierten Term, asymptotisch gleiche Terme, die Grenzwerte sin x / x und (1 + 1/x)^x → e, die Regel von L’Hospital mit Prüfung ihrer Voraussetzungen, einseitige Grenzwerte.
Jedes Ergebnis wird vor der Anzeige geprüft: die Ableitung an 20 Stellen gegen eine numerische Ableitung, die Stammfunktion durch Ableiten, das bestimmte Integral durch Quadratur und der Grenzwert mit Werten nahe der Stelle.
Kurvendiskussion: Tangente und Normale, Monotonie, Hoch- und Tiefpunkte, Krümmungsverhalten und Wendepunkte sowie globales Maximum und Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall — Schritt für Schritt aufgeschrieben.
Taylorpolynome bis zum Grad 10 mit einer Tabelle der Ableitungen an der Entwicklungsstelle und Peano-Restglied; Schreibweise wie im Schulbuch (lg, arctan, Punkte als (1 | 0), Intervalle als ]a; b[); die Lösung lässt sich als Text und LaTeX kopieren, als PDF speichern und per Link teilen; Übungsaufgaben nach Themen prüfen Ihre eigene Antwort.

Was der Rechner löst

  • Ableitungen: x^2 sin x, (x+1)/(x-1), sin(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctan(1/x), an einer Stelle und bis zur 5. Ordnung
  • Unbestimmte Integrale: x e^x, 1/(x^2-5x+6), sin^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Bestimmte und uneigentliche Integrale: sin x von 0 bis pi, 1/x^2 von 1 bis ∞, ln x von 0 bis 1
  • Grenzwerte: sin(3x)/x für x → 0, (1+1/x)^x für x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, einseitig 1/x für x → 0
  • Kurvendiskussion: Tangente an einer Stelle, Hoch- und Tiefpunkte, globales Maximum und Minimum im Intervall
  • Implizit und in Parameterdarstellung: x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sin t; Taylorpolynome: e^x, ln(1+x), sin x an einer beliebigen Entwicklungsstelle

So geben Sie eine Funktion ein

Potenzen mit ^ oder ²: x^2, x^(1/3), e^(2x). Das Malzeichen darf fehlen: 2x, x sin x, (x+1)(x-1). Funktionen mit oder ohne Klammern: sin x, sin 2x = sin(2x), sin^2 x, tan x, cot, arcsin, arctan, sinh, cosh, ln x, lg x, log_2 x, log(2, x), sqrt(x) oder √x, cbrt(x), |x|. Konstanten sind pi und e, unendlich ist ∞ oder inf. Auch eine ganze Aufgabe lässt sich einfügen: ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sin(x)/x. Andere Buchstaben (a, b, k) gelten als Konstanten.

Was ihn von einem Rechner unterscheidet, der nur das Ergebnis liefert

Das Ergebnis liefert jedes Computeralgebrasystem, doch die Punkte gibt es für den Lösungsweg: welche Regel in jedem Schritt angewendet wurde. Hier sind die Schritte keine Nacherzählung des Ergebnisses, sondern eine Kette von Gleichungen nach den Regeln aus dem Unterricht — bei der Kettenregel sind äußere und innere Funktion benannt, bei der partiellen Integration sind u und dv ausgeschrieben, und beim Grenzwert sind der unbestimmte Ausdruck und der Weg zu seiner Auflösung genannt. Außerdem wird jedes Ergebnis durch eine unabhängige numerische Rechnung geprüft: Stimmen symbolisches Ergebnis und Probe nicht überein, sagt das Tool es offen, statt ein ungeprüftes Ergebnis als richtig auszugeben.

Häufige Fragen

Warum steht im Ergebnis ln|x| und nicht ln x?

Weil 1/x auch für negative x definiert ist, ln x aber nicht. Die Ableitung von ln|x| ist auf beiden Hälften der Achse gleich 1/x, deshalb ist ln|x| + C die Stammfunktion von 1/x. Mit ln x ginge die Hälfte des Definitionsbereichs verloren. Wo der Term im Logarithmus immer positiv ist — x² + 1, eˣ + 1 —, schreibt man keinen Betrag, und das Tool lässt ihn ebenfalls weg.

Mein Ergebnis weicht vom Lösungsheft ab. Welches stimmt?

Womöglich beide. Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante bestimmt: sin²x/2 und −cos 2x/4 unterscheiden sich um genau 1/4 und haben dieselbe Ableitung. Auch verschiedene Formen einer Ableitung können gleich sein: 2 sin x cos x = sin 2x. Zur Probe leiten Sie Ihr Ergebnis ab oder geben es beim Üben ein: Dort werden Antworten über ihre Werte verglichen, nicht über die Buchstaben.

Wann darf man die Regel von L’Hospital nicht anwenden?

Wenn kein unbestimmter Ausdruck 0/0 oder ∞/∞ vorliegt — dann liefert die Regel ein falsches Ergebnis. Und wenn der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen nicht existiert: Bei (x + sin x)/x für x → ∞ ergeben die Ableitungen (1 + cos x)/1, und das schwingt, obwohl der Grenzwert selbst 1 ist — man findet ihn durch gliedweises Dividieren. Das Tool prüft beide Bedingungen und sagt klar, wenn die Regel nicht anwendbar ist.

Warum lässt sich das Integral von e^(−x²) nicht berechnen?

Seine Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken — das ist bewiesen (Satz von Liouville) und keine Schwäche des Rechners. Dasselbe gilt für sin x / x, eˣ/x, 1/ln x und sin x². Für sie führt man spezielle Funktionen ein — die Fehlerfunktion erf, den Integralsinus Si und andere. Ein bestimmtes Integral einer solchen Funktion existiert trotzdem und wird numerisch berechnet: Von −∞ bis ∞ ist das Integral von e^(−x²) gleich √π.

Wie bestimme ich das globale Maximum einer Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall?

Ableitung bilden, f′(x) = 0 lösen, die Lösungen im Intervall behalten und die Funktionswerte an den Intervallgrenzen und an diesen Stellen berechnen — der größte Wert ist das Ergebnis. Ein Hochpunkt im Inneren muss nicht der größte Wert sein: Das Maximum kann auch am Rand liegen (Randextremum). Geben Sie das Intervall in der Kurvendiskussion ein, dann wird die Lösung in genau diesen Schritten aufgeschrieben.

Warum endet ein unbestimmtes Integral mit + C, ein bestimmtes aber mit einer Zahl?

Ein unbestimmtes Integral steht für alle Stammfunktionen auf einmal, und die unterscheiden sich um eine Konstante: x² und x² + 5 haben dieselbe Ableitung 2x. Deshalb wird + C angehängt. Beim bestimmten Integral zieht der Hauptsatz den Wert an der unteren Grenze vom Wert an der oberen ab, das C hebt sich weg, und es bleibt eine Zahl.

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