Gleichungen, Ungleichungen und Systeme lösen mit Rechenweg

Das Tool löst eine Gleichung, eine Ungleichung oder ein System aus zwei Gleichungen und schreibt den Rechenweg so auf, wie man ihn von Hand notiert: Umformen, Diskriminante, Satz von Vieta, Definitionsbereich, Vorzeichentabelle, Einsetzungs- und Additionsverfahren. Das Ergebnis lässt sich direkt auf der Seite überprüfen — jede Lösung wird eingesetzt, jedes Lösungsintervall mit einem Punkt getestet.

So lösen Sie eine Gleichung

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Aufgabentyp wählen und eingeben — zum Beispiel x^2 - 5x + 6 = 0 oder 2x + 3y = 13; x - y = 1. Ein Foto geht auch.

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Lösung und Probe durch Einsetzen erscheinen direkt unter dem Feld.

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Daneben steht der Rechenweg: Verfahren wechseln, Lösung kopieren, als PDF speichern oder den Graphen öffnen.

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Aufgabe eingeben und jeden Schritt der Lösung nachvollziehen

Gleichung

Beispiele:
Per Foto lösen

Ein Foto liefert einen Entwurf: Das Erkannte kommt ins Feld oben und muss vor dem Lösen geprüft werden. Gedruckte Zeilen werden deutlich besser erkannt als Handschrift.

Bild hier ablegen
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Funktionen

Eine quadratische Gleichung wird mit dem gewählten Verfahren gelöst: Diskriminante, Vieta, k = b/2, quadratische Ergänzung oder als unvollständige Gleichung.
Ungleichungen werden mit einer Vorzeichentabelle gelöst: Nullstellen, ausgeschlossene Nennerstellen, Vorzeichen je Intervall und eine Lösung mit runden und eckigen Klammern.
Ein System aus zwei Gleichungen wird per Einsetzen, Addition oder Cramerscher Regel gelöst; ein nichtlineares (xy = 6, x² + y² = 25) durch Einsetzen aus der linearen Gleichung, mit beiden Kurven im Graphen.
Exakte Lösungen: √2, (1 + √5)/2 und Brüche bleiben, wie sie sind, der Dezimalwert steht daneben.
Jede Lösung wird in die Ausgangsgleichung eingesetzt, und die Lösung einer Ungleichung wird mit einem Punkt aus jedem Intervall getestet.
Der Übungsmodus liefert eine ähnliche Aufgabe mit neuen Zahlen und prüft Ihre Antwort; die Lösung lässt sich als Text kopieren, als PDF speichern und als Link teilen.

Was gelöst wird

  • Lineare Gleichungen: 2x + 5 = 13, 3(x - 1) = x + 7
  • Quadratische Gleichungen, auch unvollständige: x^2 - 5x + 6 = 0, 3x^2 - 12x = 0, x^2 = 2
  • Biquadratische Gleichungen per Substitution und höhere Grade per Horner-Schema: x^4 - 5x^2 + 4 = 0, x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
  • Bruchgleichungen mit Definitionsbereich: (x+1)/(x-1) = 2, 1/x + 1/(x+1) = 1
  • Ungleichungen, auch Bruch- und Doppelungleichungen: x^2 - 5x + 6 < 0, (x-1)/(x+2) >= 0, -3 < 2x + 1 <= 5
  • Systeme aus zwei Gleichungen: 2x + 3y = 13; x - y = 1 und x + y = 5; xy = 6
  • Alles andere — numerisch, mit genanntem Suchintervall: sin(x) = 0.5

Was die Eingabe versteht

Implizite Multiplikation (2x, 3(x+1), (x+1)(x-1)), Potenzen mit ^ oder ², Klammern, Brüche, Betrag mit senkrechten Strichen, Dezimalpunkt oder Komma. Ungleichheitszeichen: <, >, <=, >=, ≤, ≥, auch Doppelungleichungen. Ein System kommt in zwei Felder oder in eine Zeile, getrennt durch ein Semikolon, und zusammengeschriebenes xy wird als Produkt gelesen. Funktionen: sin, cos, tan, cot, ln, lg, log(Basis, Zahl), sqrt, abs, exp; Konstanten pi und e. Jeder Buchstabe kann die Variable sein — 2y + 1 = 7 wird nach y aufgelöst.

Worin er sich von einem Nullstellenrechner unterscheidet

Ein Rechner antwortet mit einer Zahl, die Hausaufgabe verlangt aber einen Lösungsweg — und zwar mit dem Verfahren aus dem Unterricht. Hier ist jeder Schritt beschriftet, und das Verfahren lässt sich wechseln: Diskriminante oder Vieta, Einsetzen oder Addition. Der zweite Unterschied ist die Genauigkeit: Wo ein gewöhnlicher Rechner 1,414214 ausgibt, bleibt hier √2 stehen, und ein Bruchkoeffizient wird als x/2 geschrieben statt als 1/2x. Der dritte sind ehrliche Grenzen: Gibt es kein exaktes Schulverfahren, erfindet das Tool keine Formel, sondern sagt offen, dass die Lösungen numerisch und in welchem Intervall gefunden wurden.

Häufige Fragen

Warum steht in der Lösung √2 und nicht 1,41?

Weil √2 der exakte Wert ist und 1,41 bereits gerundet. Wird diese Lösung im nächsten Schritt einer Aufgabe weiterverwendet, schleppt sich der Fehler mit, und das Ergebnis weicht vom Lösungsbuch ab. Der Dezimalwert steht trotzdem mit ≈ daneben — zur Orientierung, nicht statt der Lösung. Aus demselben Grund bleiben Brüche Brüche: 2/3, nicht 0,666666.

Was ist der Definitionsbereich, und warum wurde eine Lösung verworfen?

Der Definitionsbereich ist die Menge der Werte, für die die Gleichung überhaupt Sinn ergibt. Ein Nenner darf nicht null sein, deshalb werden solche Werte vor dem Lösen ausgeschlossen. Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner können Lösungen entstehen, die die Ausgangsgleichung nicht hat: x²/(x−2) = 4/(x−2) ergibt formal ±2, aber für x = 2 existieren beide Brüche nicht. Diese Lösung wird als Scheinlösung benannt und verworfen, statt stillschweigend in der Antwort zu stehen.

Warum hat die Lösung einer Ungleichung eine runde und eine eckige Klammer?

Eine eckige Klammer bedeutet, dass die Grenze zur Lösung gehört, eine runde, dass sie nicht dazugehört. Nullstellen des Ausdrucks gehören nur bei einer nicht strengen Ungleichung (≤ oder ≥) dazu. Stellen, an denen der Nenner null ist, gehören nie dazu: Dort existiert der Ausdruck nicht. Für (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 lautet die Lösung also (−∞; −2) ∪ [1; +∞), und [−2 zu schreiben wäre ein Fehler. Besteht die Lösung aus einem einzigen Punkt, steht sie in geschweiften Klammern: {1}.

Welche Gleichungssysteme werden gelöst, und wie?

Ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Ein lineares lässt sich auf drei Wegen rechnen — Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren und Cramersche Regel —, umschaltbar über dem Rechenweg; alle drei liefern dieselbe Lösung. Ein nichtlineares (x + y = 5, xy = 6 oder x² + y² = 25, x − y = 1) wird durch Einsetzen gelöst: Eine Variable wird aus der linearen Gleichung ausgedrückt, der Rest ist eine gewöhnliche Gleichung mit eigenem Rechenweg. Hat das System keine lineare Gleichung, sagt das Tool das, statt eine Lösung zu raten.

Warum zeigt eine kubische Gleichung das Horner-Schema statt einer Formel?

Die Cardanische Formel gibt es, aber sie wird in der Schule nicht unterrichtet, und diesen Schritt kann man nicht in die Hausaufgabe übernehmen. Das Schulverfahren ist ein anderes: Eine Lösung wird unter den Teilern des Absolutglieds geraten, das Polynom durch (x − Lösung) geteilt, und übrig bleibt eine quadratische Gleichung, die mit der Diskriminante gelöst wird. So bleibt die Lösung exakt. Gibt es keine rationale Lösung, sagt das Tool das, und die Lösungen werden dann numerisch gesucht.

Woher kommt das Intervall von −50 bis 50 in einer gerundeten Lösung?

Das sind die Grenzen der numerischen Suche, und sie werden absichtlich genannt. Greift kein exaktes Verfahren (sin x = 0,5, |x − 2| < 3 oder eine kubische Gleichung ohne rationale Lösungen), werden Lösungen und Intervallgrenzen durch Absuchen gefunden, und abgesucht wird immer ein endliches Intervall. „Drei Lösungen gefunden“ ohne das Intervall zu sagen, wäre unwahr: Außerhalb kann es weitere geben. Um weiter zu suchen, öffnen Sie die Aufgabe im Funktionsplotter, wo sich die Ansicht verschieben und zoomen lässt.

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Machen wir — und zwar! Schreiben Sie uns kurz Ihre Idee. Wenn Sie sie im Detail besprechen möchten, hinterlassen Sie eine E-Mail-Adresse, wir melden uns. Anonym geht auch.

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