Gráfico de função: zeros, extremos e assíntotas

A calculadora desenha uma função a partir da fórmula e responde na hora às perguntas pelas quais se faz um gráfico: onde a função zera, onde ficam os pontos de máximo e mínimo e as assíntotas, onde dois gráficos se cruzam e em que intervalos ela cresce. Todos os cálculos rodam no navegador, então o gráfico é redesenhado a cada tecla e a cada movimento do controle deslizante.

Como fazer o gráfico de uma função

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Digite uma fórmula como x^2 - 4 ou y = kx + b. Enter adiciona uma nova linha — outra função nos mesmos eixos.

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Leia as respostas abaixo das fórmulas: tocar em um número mostra o ponto. Arraste o gráfico para movê-lo e dê zoom com a roda ou com dois dedos.

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Abra “Estudo da função” para ver intervalos, tangente e área e salve o resultado em PNG, CSV ou link.

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Digite uma fórmula para ver zeros, pontos de máximo e mínimo e interseções

Arraste para mover · roda ou dois dedos para zoom · toque para ver um ponto

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Recursos

Respostas em números: zeros, corte no eixo y, mínimos e máximos, assíntotas verticais e oblíquas — tocar em um número mostra o ponto no gráfico.
Controles deslizantes: em y = kx + b, as letras k e b viram controles sozinhas, e o botão ▶ anima como o gráfico muda com o parâmetro.
Estudo da função: domínio, simetria, período, intervalos de sinal e de crescimento, pontos de inflexão, reta tangente em um ponto e área sob a curva.
Mais que y = f(x): inequações com região sombreada, circunferências e outras curvas implícitas, curvas polares r = f(θ), paramétricas (x(t), y(t)) e pontos.
Um salto é desenhado como salto: tangente e hipérbole não ganham uma falsa linha vertical, e as assíntotas aparecem tracejadas.
Tabela de valores com o passo que você escolher em CSV, o gráfico em PNG com o nome das funções e um link que abre o mesmo gráfico com os mesmos parâmetros.

O que dá para desenhar

  • Parábolas e polinômios: x^2 - 4, x^3 - 3x, a(x - m)^2 + n com controles deslizantes
  • Funções racionais com assíntotas: 1/x, (2x + 1)/(x - 3), x + 1/x
  • Trigonometria com o eixo x marcado em π: sin x, tan x, 2sin(3x)
  • Logaritmos e exponenciais: ln x, 2^x, e^(-x)
  • Inequações e circunferências: y > x^2 - 2, x^2 + y^2 = 9
  • Curvas polares e paramétricas: r = 2sin(3θ), (cos 3t, sin 2t)

O que o campo de entrada entende

Números com vírgula ou ponto, multiplicação implícita (2x, kx, 3sin(x), (x+1)(x-1)), funções sem parênteses (sinx, ln x), potências com ^ e sobrescritos ², ³, módulo com barras verticais. Funções: sin, cos, tan, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, ln, log10, log2, log(base, número), sqrt, cbrt, abs, exp, sign, floor, ceil, round, min, max. Constantes pi e e, ângulos em radianos. A tabela CSV é gravada com vírgula decimal e ponto e vírgula entre as colunas — assim o Excel em português do Brasil a abre direto em colunas.

No que difere de uma calculadora gráfica comum

A maioria das calculadoras gráficas desenha a curva e para por aí: onde ela corta o eixo e onde fica o vértice, é preciso ler a olho na grade. Aqui esses números são calculados e listados ao lado do gráfico, junto com assíntotas, interseções e intervalos de crescimento — assim dá para conferir a resposta de “esboce e estude a função” sem refazer tudo à mão. Um parâmetro na fórmula vira controle deslizante, então uma pergunta como “para qual k a reta é tangente à parábola” se responde movendo a mão. E o gráfico da tangente não ganha um traço vertical que a função não tem.

Perguntas frequentes

Por que não aparece uma linha vertical onde tan x se interrompe?

Porque a função não tem essa linha. Em π/2 a tangente não é definida: pela esquerda vai para mais infinito e pela direita volta de menos infinito. Uma calculadora que liga esses dois pedaços com um segmento desenha uma linha que não existe e parece parte do gráfico. Aqui o salto é detectado, a caneta é levantada e a assíntota x = π/2 é desenhada como uma linha tracejada fina e listada nas respostas.

Como ganho um controle deslizante para um parâmetro como k em y = kx + b?

Basta escrever a letra na fórmula. Qualquer letra latina sozinha, exceto x, y e e, vira parâmetro: aparece abaixo das fórmulas um controle com o valor e limites editáveis. O botão ▶ leva o parâmetro do mínimo ao máximo e de volta para você ver o gráfico mudar. Os valores dos parâmetros ficam no link, então outra pessoa abre o gráfico com os mesmos k e b.

Como desenho uma circunferência, uma inequação ou uma curva polar?

Do jeito que o livro escreve. x^2 + y^2 = 9 é uma circunferência de raio 3 (curvas implícitas usam a mesma escala nos dois eixos para que o círculo não pareça uma elipse); y > x^2 - 2 é a região acima da parábola, sombreada na cor da função e com borda tracejada quando a inequação é estrita. r = 2sin(3θ) é uma rosácea polar e (cos t, sin t) uma curva paramétrica; os limites de t mudam logo abaixo da linha.

Qual a precisão dos zeros, pontos de máximo e mínimo e assíntotas?

Os zeros são refinados por bisseção até seis casas decimais e conferidos por substituição; os pontos de máximo e mínimo saem da busca pela seção áurea. Uma assíntota vertical é diferenciada de um pico alto pelo crescimento: perto de uma assíntota o valor cresce sem limite, perto de um pico não. Tudo isso é buscado na área visível, enquanto simetria, período e assíntotas no infinito são verificados substituindo muitos pontos. São respostas numéricas: boas para conferir uma solução, não para substituir o desenvolvimento.

Posso escrever 2x, kx e sinx sem sinal de multiplicação ou parênteses?

Pode. O campo lê a notação escolar: 2x, kx + b, 3sin(x), sinx, (x+1)(x-1), |x|, x². Se mesmo assim uma expressão não puder ser lida, a mensagem abaixo do campo indica o nome desconhecido e o caractere em que a leitura parou.

Por que o gráfico às vezes fica achatado como uma linha?

Isso acontece com uma função que tem assíntota: um valor enorme estica o eixo vertical e todo o resto é espremido perto do zero. Por isso, ao ajustar o eixo Y, os dois por cento de valores mais altos e mais baixos são ignorados. Se não bastar, desligue o botão de setas “Ajustar o eixo Y” à direita do gráfico e mova ou aproxime o gráfico você mesmo.

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