Похідна, інтеграл і границя онлайн з розв’язанням

Онлайн-калькулятор знаходить похідну, невизначений і визначений інтеграл та границю функції й показує розв’язання так, як його записують у зошиті: у кожного кроку назване правило й виписана формула. Первісна перевіряється диференціюванням, похідна — чисельно, границя — таблицею значень поблизу точки, тож відповідь можна звірити, а не вірити на слово.

Як знайти похідну, інтеграл або границю

1

Виберіть, що знайти, і введіть функцію — наприклад, x^2 sin x або (1+1/x)^x. Під полем видно, як прочитано запис.

2

Відповідь і перевірка з’являться одразу; для визначеного інтеграла задайте межі, для границі — точку.

3

Під відповіддю — розв’язання по кроках і графік: перемкніть докладність, скопіюйте розв’язання або збережіть PDF.

🔥 Зараз у тренді
🗣️ Текст у мовлення ✨ Покращення відео ✂️ Обрізати аудіо ✨ Підсилювач аудіо 🎭 Зміна голосу 🎙️ Видалення вокалу 🎬 Відео з аудіо 🎬 Обрізання відео

Введіть функцію й розберіть розв’язання за правилами

Функція

Прочитано як:
Приклади:
Тренажер

Задача обраної теми з іншими числами: розв’яжіть у зошиті й введіть відповідь. Зараховується будь-який правильний запис — 2 sin x cos x і sin 2x означають одне й те саме, а стала C у первісної не важлива.

Запис розв’язання
Не знаєте, що спробувати?
900+ інструментів — відкрийте сюрприз
🎲 Здивуйте мене

Особливості

Похідна до п’ятого порядку за правилами: сума, добуток, частка, складена функція з явно названими зовнішньою та внутрішньою функціями, логарифмічне диференціювання для xˣ; частинні похідні, неявна функція F(x, y) = 0 і параметрично задана x(t), y(t) з другою похідною.
Інтеграл: таблиця, підведення під знак диференціала, заміна змінної, інтегрування частинами (зокрема циклічне ∫eˣ sin x dx), найпростіші дроби, зниження степеня, підстановка t = tg(x/2); визначений — за формулою Ньютона — Лейбніца, невласний — через границю.
Границя: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — скорочення, спряжений вираз, еквівалентні нескінченно малі, перша й друга чудові границі, правило Лопіталя з перевіркою застосовності, односторонні границі.
Кожну відповідь перевірено ще до показу: похідну — різницевою похідною в 20 точках, первісну — диференціюванням, визначений інтеграл — квадратурою, границю — значеннями поблизу точки.
Дослідження функції: дотична й нормаль, проміжки зростання і спадання, екстремуми, опуклість, найбільше й найменше значення на відрізку — з оформленням розв’язання, як у шкільній задачі.
Ряд Тейлора й формула Маклорена до 10-го степеня: таблиця похідних у точці й залишок у формі Пеано; запис як у зошиті (tg, ctg, arctg, lg), розв’язання копіюється текстом і LaTeX, зберігається в PDF і передається посиланням; тренажер перевіряє вашу відповідь.

Що розв’язує

  • Похідні: x^2 sin x, (x+1)/(x-1), sin(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctg(1/x), похідна в точці й до 5-го порядку
  • Невизначені інтеграли: x e^x, 1/(x^2-5x+6), sin^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Визначені й невласні: від 0 до pi sin x, від 1 до ∞ 1/x^2, від 0 до 1 ln x
  • Границі: sin(3x)/x при x → 0, (1+1/x)^x при x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, односторонні 1/x при x → 0
  • Дослідження: дотична в точці, екстремуми, найбільше й найменше значення на відрізку
  • Неявні й параметричні: x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sin t; ряд Тейлора: e^x, ln(1+x), sin x в околі точки

Як записувати функцію

Степінь — через ^ або ²: x^2, x^(1/3), e^(2x). Знак множення можна не писати: 2x, x sin x, (x+1)(x-1). Функції — з дужками або без: sin x, sin 2x = sin(2x), sin^2 x, tg x або tan x, ctg, arcsin, arctg, sh, ch, ln x, lg x, log_2 x, log(2, x), sqrt(x) або √x, cbrt(x), |x|. Сталі — pi та e, нескінченність — ∞ або inf. Можна вставити запис цілком: ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sin(x)/x. Інші літери (a, b, k) вважаються сталими.

Чим це відрізняється від калькулятора з готовою відповіддю

Відповідь уміє видати будь-яка система комп’ютерної алгебри, а оцінку ставлять за розв’язання: яке правило застосовано на кожному кроці. Тут кроки — не переказ відповіді, а ланцюжок рівностей за шкільними правилами: у складеної функції названо зовнішню й внутрішню функції, в інтегруванні частинами виписано u і dv, а в границі названо невизначеність і прийом її розкриття. І кожну відповідь перевірено незалежним чисельним розрахунком: якщо символьна відповідь і перевірка розійшлися, інструмент так і каже, а не видає неперевірене за правильне.

Часті запитання

Чому у відповіді ln|x|, а не ln x?

Бо 1/x визначена й при від’ємних x, а ln x — ні. Похідна ln|x| дорівнює 1/x на обох половинах осі, тому первісна для 1/x — саме ln|x| + C. Якщо написати ln x, відповідь утратить половину області визначення. Там, де вираз під логарифмом завжди додатний — x² + 1, eˣ + 1, — модуль не пишуть, і інструмент його теж опускає.

Моя відповідь відрізняється від відповіді в підручнику. Хто правий?

Можливо, обидві відповіді правильні. Первісна визначена з точністю до сталої: sin²x/2 і −cos 2x/4 відрізняються рівно на 1/4, і похідна в них одна. Різні записи похідної теж рівні: 2 sin x cos x = sin 2x. Перевірити просто — візьміть похідну своєї відповіді або введіть її в тренажер: там відповіді порівнюються значеннями, а не літерами.

Коли правило Лопіталя застосовувати не можна?

Коли немає невизначеності 0/0 або ∞/∞ — тоді правило дає хибну відповідь. І коли границі відношення похідних не існує: для (x + sin x)/x при x → ∞ похідні дають (1 + cos x)/1, а це коливається, хоча сама границя дорівнює 1 — її знаходять діленням почленно. Інструмент перевіряє обидві умови й у такому разі прямо пише, що правило не застосовне.

Чому інтеграл від e^(−x²) не знаходиться?

Його первісна не виражається через елементарні функції — це доведений факт (теорема Ліувілля), а не слабкість калькулятора. Так само не беруться sin x / x, eˣ/x, 1/ln x, sin x². Для них уводять спеціальні функції — функцію помилок erf, інтегральний синус Si та інші. Визначений інтеграл від такої функції при цьому існує й обчислюється чисельно: наприклад, від −∞ до ∞ інтеграл e^(−x²) дорівнює √π.

Як знайти найбільше значення функції на відрізку?

Знайти похідну, розв’язати f′(x) = 0, відібрати корені, що належать відрізку, і обчислити значення функції на кінцях відрізка та в цих точках — найбільше з них і є відповіддю. Екстремум усередині відрізка не обов’язково дає найбільше значення: максимум може досягатися на кінці. Задайте відрізок у блоці «Дослідження функції» — розв’язання буде оформлено саме за цими кроками.

Чому невизначений інтеграл має відповідь із «+ C», а визначений — число?

Невизначений інтеграл — це всі первісні одразу, а вони відрізняються на сталу: в x² і x² + 5 одна похідна 2x. Тому до знайденої первісної дописують + C. У визначеному інтегралі за формулою Ньютона — Лейбніца від значення на верхній межі віднімають значення на нижній, C скорочується — і лишається число.

💡 Хочете, щоб ми покращили цей інструмент спеціально для вас?

Звичайно! Просто надішліть нам коротке повідомлення з вашою ідеєю. Якщо хочете обговорити детальніше — залиште email, і ми зв’яжемося з вами. Можна залишитися анонімом.

Може сподобатися

½ Калькулятор дробів 📐 Геометрія з кресленням 🔢 Системи числення з розв’язанням ➗ У стовпчик: чотири дії по кроках 🟰 Розв’язання рівнянь з кроками ⚗️ Хімічний калькулятор 🎓 Калькулятор балів EGE 📈 Побудова графіка функції

Як ви оцінюєте цей інструмент?

Дякуємо за вашу оцінку!
Хочете розповісти більше? Залиште коментар!
Дякуємо! Ваш коментар з’явиться після модерації.
Для кого цей інструмент?
🎓 Студенти 📚 Педагоги та вчителі
Опубліковано Оновлено Автор: