Résolution d’équations, inéquations et systèmes avec étapes

Parce que √2 est la valeur exacte et que 1,41 est déjà arrondi. Si cette solution sert à l’étape suivante d’un problème, l’erreur se propage et la réponse s’écarte du corrigé. La valeur décimale reste affichée à côté avec ≈ — pour se faire une idée, pas à la place de la réponse. Pour la même raison, les fractions restent des fractions : 2/3, pas 0,666666.

Le domaine de définition est l’ensemble des valeurs pour lesquelles l’équation a un sens. Un dénominateur ne peut pas être nul, ces valeurs sont donc exclues avant de résoudre. En multipliant par le dénominateur commun, on peut obtenir des solutions que l’équation de départ n’a pas : x²/(x−2) = 4/(x−2) donne formellement ±2, mais pour x = 2 les deux fractions n’existent pas. Cette solution est appelée parasite et écartée, au lieu d’apparaître discrètement dans la réponse.

Un crochet tourné vers l’intérieur signifie que la borne appartient à la solution, tourné vers l’extérieur qu’elle n’y appartient pas. Les zéros de l’expression n’appartiennent à la solution que pour une inéquation large (≤ ou ≥). Les valeurs qui annulent le dénominateur n’y appartiennent jamais : l’expression n’existe pas en ces points. Pour (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 la solution est donc ]−∞ ; −2[ ∪ [1 ; +∞[, et fermer le crochet en −2 serait une erreur. Quand la solution est un seul point, elle s’écrit entre accolades : {1}.

Un système de deux équations à deux inconnues. Un système linéaire peut être résolu de trois façons — substitution, combinaison et règle de Cramer — en changeant de méthode au-dessus des étapes ; les trois donnent la même réponse. Un système non linéaire (x + y = 5, xy = 6 ou x² + y² = 25, x − y = 1) se résout par substitution : une inconnue est exprimée à partir de l’équation linéaire, et le reste est une équation ordinaire avec ses propres étapes. Si le système n’a pas d’équation linéaire, l’outil le dit au lieu de deviner une réponse.

La formule de Cardan existe, mais elle n’est pas enseignée au lycée et on ne peut pas recopier cette étape dans un devoir. La technique scolaire est différente : on devine une racine parmi les diviseurs du terme constant, on divise le polynôme par (x − racine), et il reste une équation du second degré qui se résout par le discriminant. La réponse reste ainsi exacte. S’il n’y a aucune racine rationnelle, l’outil le dit et les solutions sont alors cherchées numériquement.

Ce sont les bornes de la recherche numérique, et elles sont indiquées exprès. Quand aucune technique exacte ne s’applique (sin x = 0,5, |x − 2| < 3 ou une équation du troisième degré sans racine rationnelle), les solutions et les bornes d’intervalles sont trouvées par balayage, et un balayage porte toujours sur un intervalle fini. Dire « trois solutions trouvées » sans l’intervalle serait faux : il peut y en avoir d’autres au-delà. Pour chercher plus loin, ouvrez le problème dans le traceur de courbes, où la vue se déplace et se zoome.