Resolución de ecuaciones, desigualdades y sistemas paso a paso

Porque √2 es el valor exacto y 1.41 ya está redondeado. Si esa raíz se usa en el siguiente paso de un problema, el error se arrastra y la respuesta se aleja de la del libro. El valor decimal sigue apareciendo al lado con ≈, como referencia y no en lugar de la respuesta. Por la misma razón las fracciones siguen siendo fracciones: 2/3 y no 0.666666.

El dominio es el conjunto de valores para los que la ecuación tiene sentido. Un denominador no puede ser cero, así que esos valores se excluyen antes de resolver. Al multiplicar por el denominador común pueden aparecer raíces que la ecuación original no tiene: x²/(x−2) = 4/(x−2) da formalmente ±2, pero con x = 2 ninguna de las dos fracciones existe. Esa raíz se señala como extraña y se descarta, en vez de quedar calladamente en la respuesta.

El corchete indica que el extremo pertenece a la solución y el paréntesis, que no. Los ceros de la expresión solo pertenecen en una desigualdad no estricta (≤ o ≥). Los puntos donde el denominador es cero nunca pertenecen: ahí la expresión no existe. Por eso, para (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 la respuesta es (−∞, −2) ∪ [1, +∞), y escribir [−2 sería un error. Cuando la solución es un solo punto, se escribe entre llaves: {1}.

Un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Uno lineal se puede resolver de tres formas —sustitución, reducción y regla de Cramer— cambiando el método arriba de los pasos; las tres dan la misma respuesta. Uno no lineal (x + y = 5, xy = 6 o x² + y² = 25, x − y = 1) se resuelve por sustitución: se despeja una variable de la ecuación lineal y lo demás es una ecuación común con sus propios pasos. Si el sistema no tiene ninguna ecuación lineal, la herramienta lo dice en lugar de adivinar una respuesta.

La fórmula de Cardano existe, pero no se enseña en la escuela y ese paso no se puede copiar en la tarea. La técnica escolar es otra: se busca una raíz entre los divisores del término independiente, se divide el polinomio entre (x − raíz) y queda una cuadrática que se resuelve con el discriminante. Así la respuesta sigue siendo exacta. Si no hay ninguna raíz racional, la herramienta lo dice y las raíces se buscan numéricamente.

Son los límites de la búsqueda numérica, y se indican a propósito. Cuando no aplica ninguna técnica exacta (sin x = 0.5, |x − 2| < 3 o una cúbica sin raíces racionales), las raíces y los extremos de los intervalos se encuentran recorriendo valores, y ese recorrido siempre abarca un intervalo finito. Decir "se encontraron tres raíces" sin el intervalo sería falso: puede haber más fuera de él. Para buscar más lejos, abre el problema en la graficadora de funciones, donde la vista se puede mover y acercar.