방정식·부등식·연립방정식 단계별 풀이

√2가 정확한 값이고 1.41은 이미 반올림한 값이기 때문입니다. 그 근을 다음 단계에서 쓰면 오차가 이어져 답이 교과서와 달라집니다. 소수 값도 ≈와 함께 옆에 보여 주지만, 어림용이지 답을 대신하지 않습니다. 같은 이유로 분수도 분수 그대로 둡니다: 0.666666이 아니라 2/3.

정의역은 방정식이 의미를 가지는 값들의 모임입니다. 분모는 0이 될 수 없으므로 그런 값은 풀기 전에 제외합니다. 공통분모를 곱해 분모를 없애면 원래 방정식에 없는 근이 생길 수 있습니다: x²/(x−2) = 4/(x−2)는 형식상 ±2가 나오지만 x = 2에서는 두 분수가 모두 정의되지 않습니다. 이런 근은 무연근이라고 밝히고 제외하며, 답에 조용히 넣지 않습니다.

대괄호는 끝점이 해에 포함된다는 뜻이고, 둥근 괄호는 포함되지 않는다는 뜻입니다. 식의 값이 0이 되는 점은 등호가 있는 부등식(≤ 또는 ≥)에서만 포함됩니다. 분모가 0이 되는 점은 식이 정의되지 않으므로 절대 포함되지 않습니다. 그래서 (x − 1)/(x + 2) ≥ 0의 답은 (−∞, −2) ∪ [1, +∞)이고, [−2로 쓰면 틀립니다. 해가 한 점뿐이면 중괄호로 씁니다: {1}.

미지수가 두 개인 두 식의 연립방정식입니다. 일차 연립방정식은 풀이 과정 위에서 방법을 바꿔 대입법, 가감법, 크라메르 공식 세 가지로 풀 수 있고, 세 방법 모두 같은 답이 나옵니다. 비선형 연립방정식(x + y = 5, xy = 6 또는 x² + y² = 25, x − y = 1)은 대입법으로 풉니다. 일차식에서 한 변수를 나타내면 나머지는 풀이 과정이 따로 있는 보통 방정식이 됩니다. 일차식이 하나도 없으면 답을 추측하지 않고 그렇다고 알려 줍니다.

카르다노 공식이 있지만 학교에서 배우지 않으므로 그 단계를 숙제에 옮겨 쓸 수 없습니다. 학교에서 쓰는 방법은 다릅니다: 상수항의 약수 중에서 근을 찾고, 다항식을 (x − 근)으로 나누면 이차방정식이 남고, 이것을 판별식으로 풉니다. 그래서 답이 정확하게 유지됩니다. 유리근이 전혀 없으면 그렇다고 알려 주고 근을 수치로 찾습니다.

수치 탐색의 범위이며 일부러 밝혀 둔 것입니다. 정확한 풀이법이 없을 때(sin x = 0.5, |x − 2| < 3, 유리근이 없는 삼차방정식) 근과 구간의 끝점은 값을 훑어서 찾는데, 훑는 범위는 항상 유한합니다. 구간 없이 "근을 세 개 찾았다"고 하면 거짓이 됩니다. 범위 밖에 근이 더 있을 수 있기 때문입니다. 더 넓게 보려면 문제를 함수 그래프 도구에서 여세요. 거기서는 보기를 옮기고 확대할 수 있습니다.