Zahlensystem-Umrechner mit Lösungsweg

Die erste Division durch die Basis liefert als Rest die niedrigste Ziffer – die Einerstelle. Jede weitere Division arbeitet mit dem Quotienten, also mit der um eine Stelle nach rechts verschobenen Zahl, deshalb ist ihr Rest die nächste Ziffer weiter links. Der letzte Quotient ist kleiner als die Basis und bildet die höchste Ziffer. Teilt man – wie oft im Unterricht – noch einmal, bis der Quotient 0 ist (1 : 2 = 0 Rest 1), erscheint dieselbe Ziffer als letzter Rest. Darum beginnt das Ergebnis unten. Liest man von oben, stehen die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge – der häufigste Fehler bei diesen Aufgaben.

Eine Kommazahl bricht zur Basis p nur dann ab, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs keine anderen Primfaktoren hat als p. 0,1 ist 1/10, und 10 = 2 · 5: Der Faktor 5 kürzt sich zur Basis 2 nie weg. Multipliziert man den Nachkommaanteil immer wieder mit 2, kehrt nach vier Schritten der Wert 0,2 zurück, und ab dort wiederholen sich die Ziffern 0011 endlos: 0,1 = 0,0(0011)₂. Dieselbe Zahl ist im Dezimalsystem ein endliches 0,1 und im Hexadezimalsystem 0,1(9).

Weil 8 = 2³ und 16 = 2⁴: Eine Oktalziffer fasst genau drei Bits, eine Hexadezimalziffer genau vier. Deshalb braucht die Umrechnung keine Division: Die Dualzahl wird vom Komma aus in Gruppen geteilt – im ganzzahligen Teil nach links, im Nachkommateil nach rechts –, die äußeren Gruppen werden mit Nullen aufgefüllt, und jede Gruppe wird durch ihre Ziffer ersetzt. Zwischen 8 und 16 gibt es keine solche Beziehung, deshalb führt der Weg über das Dualsystem.

Das Umkehren aller Bits ergibt das Einerkomplement, und eine Zahl plus ihr Einerkomplement ist eine Reihe aus Einsen, also 2ʷ − 1. Eine Eins mehr ergibt genau 2ʷ, das nicht in w Bit passt und zu null wird. Deshalb verhält sich das Zweierkomplement von x bei der gewöhnlichen Addition wie −x, und der Prozessor subtrahiert mit demselben Addierwerk, mit dem er addiert. Nebenbei gibt es nur eine Null, und der Bereich reicht auf der negativen Seite eins weiter: von −128 bis 127 bei 8 Bit.

Ein float hält 24 signifikante Bits: 23 werden gespeichert, die führende 1 wird mitgedacht. Die Dualzahl 0,0(0011) ist unendlich, also wird sie auf 24 Bit gekürzt und auf den nächsten darstellbaren Wert gerundet – hier aufwärts. Die gespeicherte Zahl ist exakt 0,100000001490116119384765625; diese endliche Dezimalzahl gibt es, weil der gespeicherte Wert ein Bruch mit einer Zweierpotenz im Nenner ist. Der Bereich IEEE 754 zeigt diesen Wert und den Rundungsfehler für jede Zahl.

Jeden Summanden in eine Zweierpotenz umwandeln: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Eine Potenz 2ⁿ ist eine 1 mit n Nullen. Für 2²⁰¹⁷ − 15 schreibt man 15 als 16 − 1: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ sind 2013 Einsen, gefolgt von 4 Nullen, und die wieder addierte 1 macht die letzte Null zu einer Eins. Zusammen mit der einzelnen 1 von 2⁴⁰⁴⁰ ergibt das 1 + 2013 + 1 = 2015 Einsen. Der Modus „Prüfungsaufgaben“ zeigt jeden dieser Schritte und prüft die Anzahl am exakten Wert.