Resolução de equações, inequações e sistemas passo a passo

Porque √2 é o valor exato, e 1,41 já está arredondado. Se essa raiz for usada no próximo passo de um problema, o erro se acumula e a resposta se afasta do gabarito. O valor decimal continua aparecendo ao lado com ≈ — como referência, não no lugar da resposta. Pelo mesmo motivo, frações continuam frações: 2/3, e não 0,666666.

É o conjunto de valores para os quais a equação faz sentido. Um denominador não pode ser zero, então esses valores são excluídos antes de resolver. Ao multiplicar pelo denominador comum, podem surgir raízes que a equação original não tem: x²/(x−2) = 4/(x−2) dá formalmente ±2, mas com x = 2 nenhuma das frações existe. Essa raiz é apontada como estranha e descartada, em vez de ficar escondida na resposta.

O colchete fechado indica que o extremo pertence à solução; o aberto, que não pertence. Os zeros da expressão só entram numa inequação não estrita (≤ ou ≥). Os pontos em que o denominador é zero nunca entram: ali a expressão não existe. Por isso, para (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 a resposta é ]−∞, −2[ ∪ [1, +∞[, e fechar o colchete em −2 seria um erro. Quando a solução é um único ponto, ela é escrita entre chaves: {1}.

Um sistema de duas equações com duas variáveis. Um linear pode ser resolvido de três jeitos — substituição, adição e regra de Cramer — trocando o método acima dos passos; os três dão a mesma resposta. Um não linear (x + y = 5, xy = 6 ou x² + y² = 25, x − y = 1) é resolvido por substituição: uma variável é isolada na equação linear, e o resto é uma equação comum com os próprios passos. Se o sistema não tiver equação linear, a ferramenta avisa em vez de chutar uma resposta.

A fórmula de Cardano existe, mas não é ensinada na escola e esse passo não dá para copiar no caderno. A técnica escolar é outra: procura-se uma raiz entre os divisores do termo independente, divide-se o polinômio por (x − raiz) e sobra uma equação do segundo grau, resolvida pelo delta. Assim a resposta continua exata. Se não houver raiz racional, a ferramenta avisa e as raízes são buscadas numericamente.

São os limites da busca numérica, e eles são informados de propósito. Quando nenhuma técnica exata se aplica (sin x = 0,5, |x − 2| < 3 ou uma equação de terceiro grau sem raízes racionais), as raízes e os extremos dos intervalos são encontrados varrendo valores, e a varredura sempre cobre um intervalo finito. Dizer "foram encontradas três raízes" sem o intervalo seria falso: pode haver outras fora dele. Para procurar mais longe, abra o problema na calculadora de gráficos, onde dá para mover e aproximar a visualização.