Geometrie-Rechner: Dreieck berechnen mit Zeichnung und Rechenweg

Drei unabhängige, und mindestens eine davon muss eine Länge sein. Drei Winkel legen nur die Form fest: Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 90° gibt es in jeder Größe. Abhängige Angaben helfen ebenfalls nicht: Sind α und β bekannt, ist es auch γ (γ = 180° − α − β). Reichen die Angaben nicht, sagt der Rechner, wie viele Größen fehlen, und schlägt passende vor — zu a und b etwa eine weitere Seite, einen Winkel, eine Höhe oder den Flächeninhalt.

Den Winkel β liefert der Sinussatz: sin β = b·sin α / a. Zu einem Sinuswert gehören zwei Winkel — β und 180° − β. Ist die Seite a gegenüber dem gegebenen Winkel kürzer als b, aber länger als b·sin α, passen beide, und es gibt zwei verschiedene Dreiecke, ein schmales und ein breites. Deshalb ist SSW kein Kongruenzsatz; eindeutig wird es im Fall SsW, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt: Für a ≥ b ergäbe die stumpfe Variante eine Winkelsumme über 180°, es bleibt also eine Lösung. Für a < b·sin α erreicht die Seite den anderen Schenkel des Winkels nicht, und es gibt kein Dreieck.

Vergleichen Sie das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der Quadrate der beiden anderen. Ist c² < a² + b², ist das Dreieck spitzwinklig; bei Gleichheit ist es rechtwinklig (Umkehrung des Satzes des Pythagoras); ist c² größer, ist es stumpfwinklig. Das folgt aus dem Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cos γ: Das Vorzeichen des Kosinus entscheidet, ob γ spitz oder stumpf ist. Für 5, 6, 7 gilt 49 < 25 + 36, das Dreieck ist also spitzwinklig.

25π ist der exakte Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 5, 78,5 dagegen ein gerundeter Wert — und welcher, hängt vom verwendeten π ab: Mit π ≈ 3,14 erhält man 78,5, mit π ≈ 3,1416 dagegen 78,54. Im Unterricht wird das Ergebnis meist „als Vielfaches von π“ oder mit π ≈ 3,14 verlangt; beides finden Sie in der Einstellung „Die Zahl π“. Die exakte Form bleibt im Rechenweg bis zum letzten Schritt erhalten, sodass sich Rundungsfehler nicht aufsummieren.

Mit der Gaußschen Trapezformel: A = ½·|x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + … + xₙy₁ − x₁yₙ|. Die Eckpunkte müssen in der Reihenfolge des Umlaufs angegeben werden, im oder gegen den Uhrzeigersinn; sonst schneiden sich die Seiten, und die Formel liefert einen anderen Flächeninhalt. Im Modus „Punkte“ lassen sich bis zu acht Eckpunkte eingeben: Das Tool prüft, dass sich die Seiten nicht schneiden, und schreibt die Summe aus.

Gestrichelt sind die verdeckten Kanten — jene, die von den Flächen des Körpers verdeckt werden. In der Schule zeichnet man Körper im Schrägbild: die Vorderfläche unverzerrt, die nach hinten laufenden Kanten unter 45° und auf die Hälfte verkürzt. Eine solche Zeichnung zeigt, welche Fläche vorn und welche hinten liegt, sodass man Diagonalen und Höhen nicht verwechselt. Hier werden die verdeckten Kanten aus der Lage der Flächen bestimmt, die Strichelung stimmt also mit dem Schulbuch überein.

Weil eine Konstruktion für BELIEBIGE gegebene Strecken gelten muss, nicht für gemessene Zahlen. Das Lineal zieht nur eine Gerade durch zwei Punkte; Längen überträgt der Zirkel, der seine Spanne exakt hält. Gemessene 4,3 cm sind bereits gerundet, und ein nach der Skala gesetzter Punkt liegt um Bruchteile eines Millimeters daneben — die Konstruktion stimmt dann „nach Augenmaß“, nicht durch Beweis. Deshalb verschiebt „Selbst konstruieren“ hier die Vorgaben ein wenig: Eine richtige Konstruktion folgt ihnen, eine nach Augenmaß bleibt stehen.

60°: Zeichnen Sie um den Scheitelpunkt O einen Kreis durch einen beliebigen Punkt A auf einem Schenkel, dann einen Bogen mit demselben Radius um A — die Bögen schneiden sich im Punkt B, mit dem das Dreieck OAB gleichseitig ist, also ist ∠AOB = 60°. 30° liefert die Winkelhalbierende von 60°, 90° die Senkrechte zu einer Geraden in einem ihrer Punkte, 45° die Winkelhalbierende von 90°. Der 60°-Winkel, die Winkelhalbierende und die Senkrechte stehen in der Liste der Konstruktionen und laufen Schritt für Schritt ab.