حاسبة الهندسة مع رسم بمقياس وحل خطوة بخطوة

ثلاث قيم مستقلة، وواحدة منها على الأقل طول. الزوايا الثلاث تحدد الشكل فقط: المثلثات التي زواياها 30° و60° و90° تكون بأي حجم. والمعطيات المرتبطة لا تنفع أيضًا: متى عُرفت α وβ عُرفت γ كذلك، لأن ‎γ = 180° − α − β‎. وحين لا تكفي المعطيات يذكر الحلّال عدد القيم الناقصة ويقترح قيمًا مناسبة — فمع a وb مثلًا: ضلع آخر أو زاوية أو ارتفاع أو المساحة.

تُحسب الزاوية β من قانون الجيب: ‎sin β = b·sin α / a‎. وللجيب الواحد زاويتان: β والزاوية ‎180° − β‎. فإذا كان الضلع a المقابل للزاوية المعطاة أقصر من b لكنه أطول من المقدار ‎b·sin α‎ صحّت الزاويتان، ونتج مثلثان مختلفان: ضيق وواسع. وإذا كان ‎a ≥ b‎ جعل الخيار المنفرج مجموع الزوايا أكبر من 180°، فالحل واحد. وإذا كان ‎a < b·sin α‎ لم يبلغ الضلعُ الضلعَ الآخر للزاوية، فلا مثلث.

قارن مربع أطول الأضلاع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا كان ‎c² < a² + b²‎ فالمثلث حاد الزوايا، وإذا تساويا فهو قائم الزاوية (عكس نظرية فيثاغورس)، وإذا كان c² أكبر فهو منفرج الزاوية. وهذا ينتج من قانون جيب التمام ‎c² = a² + b² − 2ab·cos γ‎: فإشارة جيب التمام تحدد أن γ حادة أو منفرجة. مثال: الأضلاع 5 و6 و7 تعطي ‎49 < 25 + 36‎، فالمثلث حاد الزوايا.

25π هي المساحة المضبوطة لدائرة نصف قطرها 5، أما 78.5 فتقريب يتوقف على قيمة π المستعملة: القيمة ‎π ≈ 3.14‎ تعطي 78.5، والقيمة ‎π ≈ 3.1416‎ تعطي 78.54. والمعلمون يطلبون الجواب عادةً «بدلالة π» أو باعتبار ‎π ≈ 3.14‎؛ والخياران موجودان في الإعداد «العدد π». وتبقى الصيغة المضبوطة في الحل حتى الخطوة الأخيرة، فلا تتراكم أخطاء التقريب.

بصيغة رباط الحذاء (صيغة غاوس للمساحة): ‎S = ½·|x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + … + xₙy₁ − x₁yₙ|‎. يجب ترتيب الرؤوس بترتيب الدوران حول المضلع، مع عقارب الساعة أو عكسها؛ وإلا تقاطعت الأضلاع وأعطت الصيغة مساحة أخرى. وفي وضع «نقاط» يمكن إدخال حتى ثمانية رؤوس: تتحقق الأداة من أن الأضلاع لا تتقاطع وتكتب المجموع مفصّلًا.

الخطوط المتقطعة تمثل الأحرف غير المرئية — التي تحجبها أوجه المجسم. في المدرسة تُرسم المجسمات بالإسقاط المائل: الوجه الأمامي بلا تشويه، والأحرف المتجهة إلى الخلف بزاوية 45° وبنصف طولها. في رسم كهذا يتبيّن أي وجه في الأمام وأيها في الخلف، فلا تختلط الأقطار والارتفاعات. وهنا تُحدَّد الأحرف غير المرئية من اتجاه الأوجه، فتطابق الخطوط المتقطعة ما في الكتاب المدرسي.

لأن الإنشاء يجب أن يصح لأي قطع معطاة مهما كانت، لا لأعداد مقيسة. المسطرة ترسم مستقيمًا يمر بنقطتين فقط، والأطوال تُنقل بالفرجار الذي يحفظ فتحته بدقة. والقياس ‎4.3 cm‎ مقرَّب أصلًا، والنقطة الموضوعة بحسب التدريج تنحرف بجزء من الملليمتر — فيصير الإنشاء صحيحًا «بالتقدير» لا بالبرهان. ولهذا يحرّك وضع «جرّب بنفسك» هنا المعطيات قليلًا: الإنشاء الصحيح يتبعها، والموضوع بالتقدير يبقى في مكانه.

الزاوية 60°: ارسم دائرة مركزها الرأس O تمر بأي نقطة A على أحد الضلعين، ثم قوسًا بنصف القطر نفسه مركزه A — يتقاطع القوسان في نقطة B يكون معها المثلث OAB متساوي الأضلاع، فقياس الزاوية AOB يساوي 60°. والزاوية 30° تنصيف للزاوية 60°، والزاوية 90° عمود على مستقيم من نقطة عليه، والزاوية 45° تنصيف للزاوية 90°. وزاوية 60° ومنصف الزاوية والعمود موجودة في قائمة الإنشاءات وتُعرض خطوة بخطوة.