도형 계산기 — 축척에 맞는 그림과 단계별 풀이

서로 독립인 값 세 개가 필요하고, 그중 하나 이상은 길이여야 합니다. 세 각만으로는 모양만 정해집니다: 세 각이 30°, 60°, 90°인 삼각형은 크기가 얼마든지 다를 수 있습니다. 서로 종속된 값도 도움이 되지 않습니다: α와 β를 알면 γ도 이미 정해집니다(γ = 180° − α − β). 값이 부족하면 몇 개가 모자라는지 알려 주고 알맞은 값을 제안합니다 — 예를 들어 a와 b가 있으면 다른 한 변, 각, 높이, 넓이 중 하나입니다.

각 β는 사인법칙으로 구합니다: sin β = b·sin α / a. 사인값이 같은 각은 β와 180° − β 두 개입니다. 주어진 각의 대변 a가 b보다 짧지만 b·sin α보다 길면 둘 다 가능해서, 좁은 삼각형과 넓은 삼각형 두 개가 나옵니다. a ≥ b이면 둔각 쪽은 세 각의 합이 180°를 넘으므로 해가 하나입니다. a < b·sin α이면 변이 각의 다른 변에 닿지 못해 삼각형이 없습니다.

가장 긴 변의 제곱을 나머지 두 변의 제곱의 합과 비교하세요. c² < a² + b²이면 예각삼각형, 같으면 직각삼각형(피타고라스 정리의 역), c²이 더 크면 둔각삼각형입니다. 이는 코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos γ에서 나옵니다: 코사인의 부호가 γ가 예각인지 둔각인지를 정합니다. 세 변이 5, 6, 7이면 49 < 25 + 36이므로 예각삼각형입니다.

25π는 반지름이 5인 원의 정확한 넓이이고, 78.5는 어림한 값이며 π를 얼마로 잡느냐에 따라 달라집니다: π ≈ 3.14이면 78.5, π ≈ 3.1416이면 78.54입니다. 중학교부터는 보통 π를 그대로 둔 답을 쓰고, 초등학교에서는 원주율을 3.14로 놓고 계산합니다. 두 가지 모두 ‘원주율 π’ 설정에 있습니다. 풀이에서는 마지막 단계까지 정확한 꼴을 유지하므로 반올림 오차가 쌓이지 않습니다.

신발끈 공식(가우스의 넓이 공식)을 씁니다: S = ½·|x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + … + xₙy₁ − x₁yₙ|. 꼭짓점은 다각형의 둘레를 따라 도는 순서대로(시계 방향이든 반시계 방향이든) 적어야 합니다. 그렇지 않으면 변이 서로 교차해서 공식이 다른 넓이를 줍니다. ‘점’ 모드에서는 꼭짓점을 여덟 개까지 입력할 수 있고, 변이 교차하지 않는지 확인한 뒤 합을 풀어 써 줍니다.

점선은 보이지 않는 모서리, 곧 입체의 면에 가려진 모서리를 나타냅니다. 학교에서는 입체도형을 겨냥도로 그립니다: 앞면은 모양 그대로 그리고, 뒤로 가는 모서리는 45° 방향으로 절반 길이로 그립니다. 이렇게 그리면 어느 면이 앞이고 어느 면이 뒤인지 보여서 대각선과 높이를 헷갈리지 않습니다. 여기서는 면의 방향으로 보이지 않는 모서리를 판별하므로 점선이 교과서와 일치합니다.

작도는 잰 수치가 아니라 주어진 선분이 어떤 것이든 성립해야 하기 때문입니다. 자는 두 점을 지나는 선을 긋는 데만 쓰고, 길이는 폭을 정확히 유지하는 컴퍼스로 옮깁니다. 재어서 얻은 4.3 cm는 이미 반올림된 값이고, 눈금에 맞춰 찍은 점은 몇 분의 1 mm만큼 어긋납니다 — 그러면 작도가 증명이 아니라 눈대중으로 맞는 것이 됩니다. 그래서 여기의 ‘직접 해 보기’는 주어진 것을 살짝 움직여 봅니다: 올바른 작도는 따라 움직이고, 눈대중으로 한 작도는 제자리에 남습니다.

60°: 꼭짓점 O를 중심으로 하고 한 변 위의 임의의 점 A를 지나는 원을 그린 다음, A를 중심으로 같은 반지름의 호를 그립니다. 두 호가 만나는 점 B에 대해 삼각형 OAB는 정삼각형이므로 각 AOB는 60°입니다. 30°는 60°의 이등분선, 90°는 직선 위의 한 점을 지나는 수선, 45°는 90°의 이등분선입니다. 60°의 각, 각의 이등분선, 수선은 작도 목록에 있으며 단계별로 재생됩니다.