تحويل الأعداد بين أنظمة العد خطوة بخطوة

القسمة الأولى على الأساس تعطي باقيًا هو الرقم الأدنى — رقم الآحاد. وكل قسمة تالية تعمل على ناتج القسمة، أي على العدد بعد إزاحته منزلة واحدة إلى اليمين، فيكون باقيها الرقم التالي إلى اليسار. وتستمر القسمة حتى يصبح ناتج القسمة صفرًا، فيكون آخر باقٍ هو الرقم الأعلى (وبعض المدارس تتوقف قبل ذلك بخطوة وتكتب آخر ناتج قسمة، وهو أصغر من الأساس، مكان هذا الرقم). لذلك تبدأ الإجابة من الأسفل. وإذا قُرئت البواقي من الأعلى جاءت الأرقام بترتيب معكوس — وهذا أكثر الأخطاء شيوعًا في هذه المسائل.

ينتهي الكسر في النظام ذي الأساس p فقط إذا لم يكن لمقامه، في أبسط صورة، عوامل أولية غير عوامل p. والعدد 0.1 هو 1/10، و‎10 = 2 × 5‎: العامل 5 لا يُختصر أبدًا في الأساس 2. وعند ضرب الجزء الكسري في 2 مرة بعد مرة تعود القيمة 0.2 بعد أربع خطوات، ومن هناك تتكرر الأرقام 0011 بلا نهاية: ‎0.1 = 0.0(0011)₂‎. والعدد نفسه كسر منتهٍ 0.1 في النظام العشري، و‎0.1(9)‎ في السداسي عشر.

لأن ‎8 = 2³‎ و‎16 = 2⁴‎: الرقم الثماني الواحد يعادل ثلاثة بتات بالضبط، والرقم السداسي عشري الواحد أربعة بالضبط. لذلك لا يحتاج التحويل إلى قسمة — يُقسَّم العدد الثنائي إلى مجموعات بدءًا من الفاصلة، إلى اليسار في الجزء الصحيح وإلى اليمين في الجزء الكسري، وتُكمَّل المجموعتان الطرفيتان بالأصفار، ثم تُستبدل كل مجموعة برقمها. وبين 8 و16 لا توجد علاقة كهذه، فيمرّ الطريق عبر الثنائي.

قلب كل البتات يعطي المتمم الأحادي، والعدد مضافًا إلى متممه الأحادي صفّ من الآحاد، أي ‎2ʷ − 1‎. وواحد إضافي يعطي ‎2ʷ‎ بالضبط، وهو لا يتسع في w بت فيتحول إلى صفر. لذلك يتصرف المتمم الثنائي لـ x في الجمع العادي مثل ‎−x‎، ويطرح المعالج بدائرة الجمع نفسها. وفوق ذلك يبقى للصفر تمثيل واحد، ويمتد المجال بمقدار واحد في الجهة السالبة: من ‎−128‎ إلى 127 على 8 بت.

يحتفظ float بـ 24 بتًا معنويًا: 23 منها تُخزَّن، والـ 1 البادئ مفهوم ضمنًا. والكتابة الثنائية ‎0.0(0011)‎ لا تنتهي، فتُقتطع عند 24 بتًا وتُقرَّب إلى أقرب قيمة تتسع — هنا إلى الأعلى. والعدد المخزَّن هو بالضبط 0.100000001490116119384765625؛ وهذا الكسر العشري المنتهي موجود لأن القيمة المخزَّنة كسر مقامه قوة للعدد 2. ويعرض قسم IEEE 754 هذه القيمة وخطأ التقريب لأي عدد.

نحوّل كل حد إلى قوة للعدد 2: ‎4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰‎. والقوة ‎2ⁿ‎ هي 1 تتبعه n من الأصفار. ولأجل ‎2²⁰¹⁷ − 15‎ نكتب 15 على صورة ‎16 − 1‎: فالعدد ‎2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴‎ هو 2013 واحدًا تتبعها 4 أصفار، وإضافة الواحد مرة أخرى تحوّل الصفر الأخير إلى واحد. ومع الواحد الوحيد في ‎2⁴⁰⁴⁰‎ يصبح المجموع ‎1 + 2013 + 1 = 2015‎ واحدًا. ويعرض وضع «مسائل امتحانية» كل خطوة كهذه ويتحقق من العدّ على القيمة الدقيقة.