Convertidor de sistemas de numeración con procedimiento

La primera división entre la base da un residuo que es el dígito de menor valor — las unidades. Cada división siguiente trabaja con el cociente, es decir, con el número recorrido una posición a la derecha, así que su residuo es el siguiente dígito hacia la izquierda. El último cociente, menor que la base, es el dígito de mayor valor; si se sigue dividiendo hasta llegar a un cociente 0, como se hace a menudo en clase, ese mismo dígito aparece como último residuo. Por eso el resultado empieza desde abajo. Leerlos de arriba hacia abajo da los dígitos al revés — el error más común en estos ejercicios.

Una fracción termina en base p solo si su denominador, ya simplificado, no tiene factores primos distintos de los de p. 0,1 es 1/10, y 10 = 2 × 5: el factor 5 nunca se cancela en base 2. Al multiplicar la parte fraccionaria por 2 una y otra vez, el valor 0,2 vuelve a aparecer a los cuatro pasos, y desde ahí los dígitos 0011 se repiten sin fin: 0,1 = 0,0(0011)₂. El mismo número es un 0,1 finito en base 10 y 0,1(9) en base 16.

Porque 8 = 2³ y 16 = 2⁴: un dígito octal equivale exactamente a tres bits y uno hexadecimal a cuatro. Por eso la conversión no necesita divisiones: el número binario se separa en grupos a partir de la coma — hacia la izquierda en la parte entera y hacia la derecha en la fraccionaria —, los grupos de los extremos se completan con ceros y cada grupo se cambia por su dígito. Entre 8 y 16 no existe esa relación, así que el camino pasa por el binario.

Invertir todos los bits da el complemento a uno, y un número más su complemento a uno es una fila de unos, es decir, 2ʷ − 1. Uno más da exactamente 2ʷ, que no cabe en w bits y se vuelve cero. Así, el complemento a dos de x se comporta como −x en una suma común, y el procesador resta con el mismo sumador con el que suma. De paso, hay un solo cero, y el rango llega uno más lejos del lado negativo: de −128 a 127 con 8 bits.

Un float guarda 24 bits significativos: 23 se almacenan y el 1 inicial se sobreentiende. El binario 0,0(0011) es infinito, así que se corta a 24 bits y se redondea al valor representable más cercano — aquí hacia arriba. El número guardado es exactamente 0,100000001490116119384765625; esa expresión decimal finita existe porque el valor guardado es una fracción con una potencia de dos en el denominador. La sección IEEE 754 muestra ese valor y el error de redondeo para cualquier número.

Convierte cada término en una potencia de dos: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Una potencia 2ⁿ es un 1 seguido de n ceros. Para 2²⁰¹⁷ − 15, escribe 15 como 16 − 1: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ son 2013 unos seguidos de 4 ceros, y el 1 que se vuelve a sumar convierte el último cero en uno. Junto con el único 1 de 2⁴⁰⁴⁰ quedan 1 + 2013 + 1 = 2015 unos. El modo «Problemas tipo examen» muestra cada uno de estos pasos y comprueba la cuenta con el valor exacto.