진법 변환 단계별 풀이

진법의 수로 처음 나눈 나머지가 가장 낮은 자리, 곧 일의 자리 숫자입니다. 다음 나눗셈은 몫, 즉 한 자리 오른쪽으로 옮긴 수로 하므로 그 나머지는 바로 왼쪽 자리의 숫자가 됩니다. 몫이 0이 될 때까지 나누면 마지막 나머지가 가장 높은 자리입니다(한 단계 앞에서 멈추고, 진법의 수보다 작은 마지막 몫을 그 자리에 쓰는 학교도 있습니다). 그래서 답은 아래에서부터 씁니다. 위에서부터 읽으면 숫자 순서가 거꾸로 되는데, 이런 문제에서 가장 흔한 실수입니다.

기약분수가 p진법에서 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 p의 소인수뿐이어야 합니다. 0.1은 1/10이고 10 = 2 × 5인데, 소인수 5는 2진법에서 없앨 수 없습니다. 소수 부분에 2를 계속 곱하면 네 단계 뒤에 0.2가 다시 나오고, 그 뒤로 0011이 끝없이 되풀이됩니다: 0.1 = 0.0(0011)₂ — 교과서처럼 점으로 쓰면 0.00̇011̇₂입니다. 같은 수가 10진법에서는 유한소수 0.1이고, 16진법에서는 0.1(9)입니다.

8 = 2³, 16 = 2⁴이기 때문입니다: 8진법 숫자 하나는 정확히 2진법 세 자리, 16진법 숫자 하나는 정확히 네 자리에 해당합니다. 그래서 나눗셈이 필요 없습니다 — 2진법 수를 소수점을 기준으로 정수 부분은 왼쪽으로, 소수 부분은 오른쪽으로 묶고, 양 끝 묶음에 0을 채운 뒤 묶음마다 해당 숫자로 바꿉니다. 8과 16 사이에는 이런 관계가 없어서 2진법을 거쳐 바꿉니다.

모든 비트를 반전하면 1의 보수가 되고, 수와 그 1의 보수를 더하면 1이 w개 늘어선 수, 곧 2ʷ − 1이 됩니다. 1을 더 더하면 정확히 2ʷ가 되는데, 이 수는 w비트에 들어가지 않아 0이 됩니다. 그래서 x의 2의 보수는 보통의 덧셈에서 −x처럼 동작하고, 프로세서는 뺄셈도 같은 덧셈 회로로 처리합니다. 덤으로 0이 하나뿐이고, 범위는 음수 쪽으로 하나 더 깁니다: 8비트에서 −128부터 127까지.

float는 유효 비트 24개를 담습니다: 23개는 저장하고, 맨 앞의 1은 저장하지 않은 채 있는 것으로 봅니다. 2진법 0.0(0011)은 끝이 없으므로 24비트에서 잘라 들어갈 수 있는 가장 가까운 값으로 반올림합니다 — 여기서는 올림입니다. 저장된 수는 정확히 0.100000001490116119384765625이며, 이렇게 끝나는 10진 소수가 있는 것은 저장된 값이 분모가 2의 거듭제곱인 분수이기 때문입니다. IEEE 754 탭에서 어떤 수든 이 값과 반올림 오차를 볼 수 있습니다.

각 항을 2의 거듭제곱으로 바꿉니다: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. 2ⁿ은 1 뒤에 0이 n개입니다. 2²⁰¹⁷ − 15에서는 15를 16 − 1로 봅니다: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴는 1이 2013개 이어진 뒤 0이 4개이고, 다시 1을 더하면 마지막 0이 1로 바뀝니다. 2⁴⁰⁴⁰의 1 하나까지 합하면 1 + 2013 + 1 = 2015개입니다. 시험 문제 모드는 이런 단계를 하나하나 보여 주고, 정확한 값으로 개수를 확인합니다.