Convertisseur de bases avec le détail des calculs

La première division par la base donne un reste qui est le chiffre de poids faible — les unités. Chaque division suivante porte sur le quotient, c’est-à-dire sur le nombre décalé d’un rang vers la droite : son reste est donc le chiffre suivant, plus à gauche. Le dernier quotient, inférieur à la base, est le chiffre de poids fort ; si l’on continue jusqu’à un quotient nul, comme souvent en cours, ce même chiffre réapparaît comme dernier reste. Voilà pourquoi le résultat commence en bas. Lire de haut en bas donne les chiffres dans l’ordre inverse — l’erreur la plus fréquente dans ces exercices.

Une écriture en base p est finie seulement si le dénominateur de la fraction irréductible n’a pas d’autres facteurs premiers que ceux de p. 0,1, c’est 1/10, et 10 = 2 × 5 : le facteur 5 ne se simplifie jamais en base 2. En multipliant la partie fractionnaire par 2 encore et encore, on retrouve 0,2 au bout de quatre étapes, et à partir de là les chiffres 0011 se répètent sans fin : 0,1 = 0,0(0011)₂. Le même nombre s’écrit 0,1 en base 10, une écriture finie, et 0,1(9) en base 16.

Parce que 8 = 2³ et 16 = 2⁴ : un chiffre octal correspond exactement à trois bits, un chiffre hexadécimal à quatre. La conversion se fait donc sans division : on découpe le nombre binaire en paquets à partir de la virgule — vers la gauche pour la partie entière, vers la droite pour la partie fractionnaire —, on complète les paquets extrêmes par des zéros et on remplace chaque paquet par son chiffre. Entre 8 et 16, il n’existe pas un tel lien : on passe donc par le binaire.

Inverser tous les bits donne le complément à un, et un nombre plus son complément à un donne une suite de 1, soit 2ʷ − 1. Un de plus donne exactement 2ʷ, qui ne tient pas sur w bits et devient zéro. Ainsi, le complément à deux de x se comporte comme −x dans une addition ordinaire, et le processeur soustrait avec le même additionneur. En prime, il n’y a qu’un seul zéro, et la plage va un cran plus loin du côté négatif : de −128 à 127 sur 8 bits.

Un float garde 24 bits significatifs : 23 sont stockés, et un 1 de tête est sous-entendu. L’écriture binaire 0,0(0011) est illimitée : elle est coupée à 24 bits et arrondie à la valeur représentable la plus proche — ici vers le haut. Le nombre stocké vaut exactement 0,100000001490116119384765625 ; cette écriture décimale finie existe parce que la valeur stockée est une fraction dont le dénominateur est une puissance de deux. L’onglet IEEE 754 montre cette valeur et l’erreur d’arrondi pour n’importe quel nombre.

On écrit chaque terme comme une puissance de deux : 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Une puissance 2ⁿ s’écrit 1 suivi de n zéros. Pour 2²⁰¹⁷ − 15, on écrit 15 = 16 − 1 : 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ s’écrit avec 2013 chiffres 1 suivis de 4 zéros, et le 1 rajouté transforme le dernier zéro en 1. Avec le 1 unique de 2⁴⁰⁴⁰, on obtient 1 + 2013 + 1 = 2015 chiffres 1. Le mode « Exercices types » détaille chacune de ces étapes et vérifie le compte sur la valeur exacte.