Conversor de bases numéricas com cálculo detalhado

A primeira divisão pela base dá um resto que é o algarismo de menor valor — as unidades. Cada divisão seguinte trabalha com o quociente, ou seja, com o número deslocado uma posição para a direita, então o seu resto é o próximo algarismo à esquerda. O último quociente, menor que a base, é o algarismo de maior valor; quem continua dividindo até o quociente dar 0, como muitas vezes se faz na escola, vê esse mesmo algarismo aparecer como último resto. Por isso a resposta começa de baixo. Ler de cima para baixo dá os algarismos na ordem inversa — o erro mais comum nesses exercícios.

Uma fração termina na base p só quando o denominador, na forma irredutível, não tem fatores primos diferentes dos de p. 0,1 é 1/10, e 10 = 2 × 5: o fator 5 nunca se cancela na base 2. Multiplicando a parte fracionária por 2 várias vezes, o valor 0,2 volta depois de quatro passos, e a partir daí os algarismos 0011 se repetem sem fim: 0,1 = 0,0(0011)₂. O mesmo número é um 0,1 finito na base 10 e 0,1(9) na base 16.

Porque 8 = 2³ e 16 = 2⁴: um algarismo octal corresponde a exatamente três bits, e um hexadecimal a quatro. Por isso a conversão não precisa de divisão: o número binário é separado em grupos a partir da vírgula — para a esquerda na parte inteira e para a direita na fracionária —, os grupos das pontas são completados com zeros e cada grupo é trocado pelo seu algarismo. Entre 8 e 16 não existe essa relação, então o caminho passa pelo binário.

Inverter todos os bits dá o complemento de um, e um número mais o seu complemento de um é uma fileira de uns, ou seja, 2ʷ − 1. Mais um dá exatamente 2ʷ, que não cabe em w bits e vira zero. Por isso o complemento de dois de x se comporta como −x numa soma comum, e o processador subtrai com o mesmo somador que usa para somar. De quebra, existe um único zero, e a faixa vai um além do lado negativo: de −128 a 127 com 8 bits.

Um float guarda 24 bits significativos: 23 ficam armazenados e o 1 inicial fica subentendido. O binário 0,0(0011) é infinito, então é cortado em 24 bits e arredondado para o valor representável mais próximo — aqui para cima. O número guardado é exatamente 0,100000001490116119384765625; essa representação decimal finita existe porque o valor guardado é uma fração com uma potência de dois no denominador. A seção IEEE 754 mostra esse valor e o erro de arredondamento para qualquer número.

Transforme cada termo em potência de dois: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Uma potência 2ⁿ é um 1 seguido de n zeros. Para 2²⁰¹⁷ − 15, escreva 15 como 16 − 1: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ são 2013 uns seguidos de 4 zeros, e o 1 somado de volta transforma o último zero em um. Com o único 1 de 2⁴⁰⁴⁰, ficam 1 + 2013 + 1 = 2015 algarismos 1. O modo “Questões de prova” mostra cada um desses passos e confere a contagem no valor exato.