Konversi bilangan biner, oktal, dan heksadesimal dengan langkah penyelesaian

Pembagian pertama dengan basis menghasilkan sisa yang menjadi angka terendah — satuan. Setiap pembagian berikutnya bekerja pada hasil bagi, yaitu bilangan yang sudah bergeser satu posisi ke kanan, sehingga sisanya menjadi angka di sebelah kirinya. Pembagian diteruskan sampai hasil baginya 0, dan sisa terakhir adalah angka tertinggi (ada sekolah yang berhenti satu langkah lebih awal dan menulis hasil bagi terakhir, yang lebih kecil dari basis, sebagai angka itu). Karena itu jawabannya dimulai dari bawah. Kalau sisa-sisanya dibaca dari atas, urutan angkanya terbalik — kesalahan yang paling sering terjadi pada soal seperti ini.

Pecahan berakhir dalam basis p hanya jika penyebutnya, dalam bentuk paling sederhana, tidak punya faktor prima selain faktor prima p. 0,1 adalah 1/10, dan 10 = 2 × 5: faktor 5 tidak pernah habis dalam basis 2. Jika bagian pecahannya dikalikan 2 terus-menerus, nilai 0,2 muncul lagi setelah empat langkah, dan sejak itu angka 0011 berulang tanpa akhir: 0,1 = 0,0(0011)₂. Bilangan yang sama dalam basis 10 adalah 0,1 yang berakhir, dan dalam basis 16 menjadi 0,1(9).

Karena 8 = 2³ dan 16 = 2⁴: satu angka oktal memuat tepat tiga bit, satu angka heksadesimal tepat empat bit. Jadi konversinya tidak perlu pembagian — bagi bilangan biner menjadi kelompok mulai dari koma, ke kiri untuk bagian bulat dan ke kanan untuk bagian pecahan, tambahkan nol pada kelompok paling luar, lalu ganti setiap kelompok dengan angkanya. Antara 8 dan 16 tidak ada hubungan seperti itu, jadi jalannya lewat biner.

Membalik semua bit menghasilkan komplemen satu, dan sebuah bilangan ditambah komplemen satunya adalah deretan angka 1, yaitu 2ʷ − 1. Satu lagi menghasilkan tepat 2ʷ, yang tidak muat dalam w bit dan berubah menjadi nol. Karena itu komplemen dua dari x berperilaku seperti −x dalam penjumlahan biasa, dan prosesor memakai rangkaian penjumlah yang sama untuk pengurangan. Bonusnya, hanya ada satu nol, dan rentangnya lebih panjang satu di sisi negatif: dari −128 sampai 127 pada 8 bit.

Float menyimpan 24 bit signifikan: 23 bit disimpan, dan satu angka 1 terdepan tersirat. Biner 0,0(0011) tidak berakhir, jadi dipotong menjadi 24 bit dan dibulatkan ke nilai terdekat yang muat — di sini ke atas. Bilangan yang tersimpan tepatnya 0,100000001490116119384765625; desimal berhingga seperti itu ada karena nilai tersimpan adalah pecahan dengan penyebut berupa pangkat dua. Tab IEEE 754 menampilkan nilai ini dan galat pembulatannya untuk bilangan apa pun.

Ubah setiap suku menjadi pangkat dua: 4²⁰²⁰ = 2⁴⁰⁴⁰. Pangkat 2ⁿ adalah 1 diikuti n nol. Untuk 2²⁰¹⁷ − 15, tulis 15 sebagai 16 − 1: 2²⁰¹⁷ − 16 = 2²⁰¹⁷ − 2⁴ adalah 2013 angka satu diikuti 4 nol, dan menambahkan kembali 1 mengubah nol terakhir menjadi satu. Bersama satu angka 1 dari 2⁴⁰⁴⁰, jumlahnya 1 + 2013 + 1 = 2015 angka satu. Mode Soal ujian menampilkan setiap langkah seperti ini dan mencocokkan hitungannya dengan nilai yang tepat.