Calculadora de derivadas, integrais e limites passo a passo

Uma ferramenta online que calcula derivadas, integrais indefinidas e definidas e limites de funções e mostra a resolução do jeito que se escreve no caderno: cada passo diz a regra e escreve a fórmula. A primitiva é conferida por derivação, a derivada numericamente e o limite com uma tabela de valores perto do ponto — assim dá para conferir a resposta em vez de acreditar nela às cegas.

Como calcular uma derivada, uma integral ou um limite

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Escolha o que calcular e digite a função — por exemplo, x^2 sen x ou (1+1/x)^x. Embaixo do campo aparece como a expressão foi entendida.

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A resposta e a verificação aparecem na hora; para uma integral definida, informe os limites de integração e, para um limite, o ponto.

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Abaixo da resposta ficam a resolução passo a passo e o gráfico: mude o nível de detalhe, copie a resolução ou salve um PDF.

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Digite uma função e acompanhe cada regra da resolução

Função

Entendido como:
Exemplos:
Treino

Um exercício do tema escolhido com outros números: resolva no papel e digite a sua resposta. Vale qualquer forma correta — 2 sen x cos x e sen 2x são a mesma coisa, e a constante C de uma primitiva não importa.

Notação
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Recursos

Derivadas até a quinta ordem pelas regras: soma, multiplicação por constante, produto, quociente, regra da cadeia com a função externa e a interna indicadas, derivação logarítmica para xˣ; derivadas parciais, funções implícitas F(x, y) = 0 e curvas paramétricas x(t), y(t) com a segunda derivada.
Integrais: integrais imediatas, substituição linear, substituição, integração por partes (inclusive a cíclica ∫eˣ sen x dx), frações parciais, redução de potência, a substituição t = tg(x/2); integrais definidas pelo Teorema Fundamental do Cálculo e impróprias por meio de um limite.
Limites: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — fatoração, conjugado, infinitésimos equivalentes, os limites fundamentais trigonométrico e exponencial, regra de L’Hôpital com verificação das condições, limites laterais.
Cada resposta é verificada antes de aparecer: a derivada contra uma derivada numérica em 20 pontos, a primitiva por derivação, a integral definida por quadratura numérica e o limite com valores perto do ponto.
Estudo da função: reta tangente e reta normal, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão, máximo e mínimo absolutos em um intervalo fechado, com a resolução escrita passo a passo.
Polinômios de Taylor e de Maclaurin até o grau 10, com tabela das derivadas no ponto e resto de Peano; notação brasileira (sen, tg, cotg, cossec, arctg); a resolução pode ser copiada como texto e LaTeX, salva em PDF e compartilhada por link; os exercícios de treino por tema conferem a sua própria resposta.

O que ela resolve

  • Derivadas: x^2 sen x, (x+1)/(x-1), sen(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctg(1/x), em um ponto e até a ordem 5
  • Integrais indefinidas: x e^x, 1/(x^2-5x+6), sen^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Integrais definidas e impróprias: sen x de 0 a pi, 1/x^2 de 1 a ∞, ln x de 0 a 1
  • Limites: sen(3x)/x quando x → 0, (1+1/x)^x quando x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, limites laterais de 1/x quando x → 0
  • Estudo da função: reta tangente em um ponto, máximos e mínimos, máximo e mínimo absolutos em um intervalo
  • Implícitas e paramétricas: x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sen t; série de Taylor: e^x, ln(1+x), sen x em torno de um ponto

Como digitar uma função

Potências com ^ ou ²: x^2, x^(1/3), e^(2x). O sinal de multiplicação pode ser omitido: 2x, x sen x, (x+1)(x-1). Funções com ou sem parênteses: sen x ou sin x, sen 2x = sen(2x), sen^2 x, tg x ou tan x, cotg, cossec, arcsen, arctg, senh, cosh, ln x, log x (base 10), log_2 x, log(2, x), sqrt(x) ou √x, cbrt(x), |x|. As constantes são pi e o número e; o infinito é ∞ ou inf. Dá para colar a questão inteira: ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sen(x)/x. As outras letras (a, b, k) são tratadas como constantes.

O que a diferencia de uma calculadora que só dá a resposta

Qualquer sistema de álgebra computacional dá a resposta, mas a nota vale pela resolução: qual regra foi aplicada em cada passo. Aqui os passos não são um resumo da resposta, e sim uma cadeia de igualdades pelas regras do livro: na regra da cadeia aparecem a função externa e a interna, na integração por partes ficam escritos u e dv, e no limite são indicados o tipo de indeterminação e como ela é resolvida. Além disso, cada resposta é conferida por um cálculo numérico independente: se a resposta simbólica e a verificação não batem, a ferramenta avisa, em vez de apresentar como certa uma resposta não verificada.

Perguntas frequentes

Por que a resposta é ln|x| e não ln x?

Porque 1/x também está definida para x negativo, e ln x não. A derivada de ln|x| é 1/x nas duas metades do eixo, por isso a primitiva de 1/x é ln|x| + C. Escrevendo ln x, a resposta perderia metade do domínio. Onde a expressão dentro do logaritmo é sempre positiva — x² + 1, eˣ + 1 —, o módulo não é escrito, e a ferramenta também o omite.

Minha resposta é diferente da do gabarito. Qual está certa?

Talvez as duas. Uma primitiva é definida a menos de uma constante: sen²x/2 e −cos 2x/4 diferem exatamente em 1/4 e têm a mesma derivada. Formas diferentes de uma derivada também podem ser iguais: 2 sen x cos x = sen 2x. Para conferir, derive a sua resposta ou digite-a no treino: lá as respostas são comparadas pelos valores, não pela escrita.

Quando não se pode usar a regra de L’Hôpital?

Quando não há indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ — aí a regra dá uma resposta errada. E quando o limite do quociente das derivadas não existe: em (x + sen x)/x com x → ∞, as derivadas dão (1 + cos x)/1, que oscila, embora o limite seja 1 — ele sai dividindo termo a termo. A ferramenta confere as duas condições e diz claramente quando a regra não se aplica.

Por que não dá para calcular a integral de e^(−x²)?

A primitiva dela não pode ser escrita com funções elementares — é um fato demonstrado (teorema de Liouville), não uma falha da calculadora. O mesmo vale para sen x / x, eˣ/x, 1/ln x e sen x². Para elas existem funções especiais — a função erro erf, a função seno integral Si e outras. Mesmo assim, a integral definida de uma função dessas existe e é calculada numericamente: de −∞ a ∞, a integral de e^(−x²) é igual a √π.

Como achar o máximo absoluto de uma função em um intervalo fechado?

Calcule a derivada, resolva f′(x) = 0, fique com as raízes que estão no intervalo e calcule a função nos extremos e nesses pontos — o maior valor é a resposta. Um máximo local dentro do intervalo não precisa ser o maior valor: o máximo pode estar em um extremo. Informe o intervalo no bloco “Estudo da função”, e a resolução sai nesses passos.

Por que a integral indefinida termina com + C e a definida dá um número?

A integral indefinida representa todas as primitivas de uma vez, e elas diferem por uma constante: x² e x² + 5 têm a mesma derivada 2x. Por isso se acrescenta + C. Na integral definida, o Teorema Fundamental do Cálculo subtrai o valor no limite inferior do valor no limite superior, o C se cancela e sobra um número.

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