미분·적분·극한 계산기 단계별 풀이

1/x는 음수인 x에서도 정의되지만 ln x는 그렇지 않기 때문입니다. ln|x|의 도함수는 x축의 양쪽 모두에서 1/x이므로 1/x의 부정적분은 ln|x| + C입니다. ln x라고 쓰면 정의역의 절반을 잃습니다. 로그 안의 식이 항상 양수일 때(x² + 1, eˣ + 1 등)는 절댓값 기호를 쓰지 않으며, 이 도구도 생략합니다.

둘 다 맞을 수 있습니다. 부정적분은 상수만큼의 차이를 허용합니다: sin²x/2와 −cos 2x/4는 정확히 1/4만큼 차이 나고 도함수가 같습니다. 도함수도 꼴이 달라도 같은 식일 수 있습니다: 2 sin x cos x = sin 2x. 확인하려면 내 답을 미분해 보거나 연습 칸에 입력하세요. 거기서는 문자 모양이 아니라 값으로 답을 비교합니다.

0/0이나 ∞/∞ 꼴이 아닐 때입니다 — 그때 쓰면 틀린 답이 나옵니다. 도함수의 비의 극한이 존재하지 않을 때도 쓸 수 없습니다: x → ∞일 때 (x + sin x)/x에서 도함수의 비는 (1 + cos x)/1로 진동하지만, 극한 자체는 1이며 항별로 나누어 구합니다. 로피탈의 정리는 고등학교 교육과정에 없어서 서술형 답안에는 교과서의 방법을 쓰는 편이 안전하고, 주로 검산에 씁니다. 이 도구는 두 조건을 모두 확인하고, 정리를 쓸 수 없으면 그렇다고 밝힙니다.

그 부정적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다 — 계산기의 한계가 아니라 증명된 사실(리우빌의 정리)입니다. sin x / x, eˣ/x, 1/ln x, sin x²도 마찬가지입니다. 이런 함수를 위해 오차함수 erf, 사인 적분 Si 같은 특수함수를 따로 정의합니다. 그래도 정적분은 존재하며 수치로 계산됩니다: −∞에서 ∞까지 e^(−x²)의 정적분은 √π입니다.

도함수를 구해 f′(x) = 0을 풀고, 구간 안에 있는 근만 남긴 뒤 구간의 양 끝과 그 점들에서 함숫값을 계산합니다 — 그중 가장 큰 값이 답입니다. 구간 안의 극댓값이 반드시 최댓값인 것은 아닙니다: 최댓값은 구간의 끝에서 나올 수도 있습니다. “도함수의 활용” 칸에 구간을 입력하면 이 순서대로 풀이를 적어 줍니다.

부정적분은 도함수가 같은 모든 함수를 한꺼번에 나타내고, 그 함수들은 상수만큼 차이가 납니다: x²과 x² + 5의 도함수는 모두 2x입니다. 그래서 + C를 붙입니다. 정적분에서는 미적분의 기본정리에 따라 위끝에서의 값에서 아래끝에서의 값을 빼므로 C가 지워지고 수가 남습니다.