Calcul de dérivée, de primitive et de limite avec la démarche

Un outil en ligne qui calcule dérivées, primitives, intégrales et limites de fonctions et rédige la solution comme sur une copie : chaque étape nomme sa règle et écrit la formule. La primitive est vérifiée par dérivation, la dérivée numériquement et la limite par un tableau de valeurs près du point : le résultat se contrôle au lieu d’être cru sur parole.

Comment calculer une dérivée, une primitive ou une limite

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Choisissez ce qu’il faut calculer et saisissez la fonction, par exemple x^2 sin x ou (1+1/x)^x. L’aperçu sous le champ montre comment l’écriture a été comprise.

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La réponse et sa vérification s’affichent aussitôt ; pour une intégrale, indiquez les bornes, pour une limite, le point.

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Sous la réponse viennent les étapes et la courbe : changez le niveau de détail, copiez la solution ou enregistrez un PDF.

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Saisissez une fonction et suivez chaque règle de la solution

Fonction

Compris comme :
Exemples :
Entraînement

Un exercice du thème choisi avec d’autres nombres : résolvez-le sur papier et saisissez votre réponse. Toute écriture juste est acceptée — 2 sin x cos x et sin 2x, c’est la même chose, et la constante C d’une primitive n’a pas d’importance.

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Fonctionnalités

Dérivées jusqu’à l’ordre 5 selon les règles : somme, produit par une constante, produit, quotient, fonction composée avec la fonction extérieure et la fonction intérieure nommées, dérivation logarithmique pour xˣ ; dérivées partielles, fonctions implicites F(x, y) = 0 et courbes paramétrées x(t), y(t) avec la dérivée seconde.
Primitives et intégrales : primitives usuelles, changement de variable affine, changement de variable, intégration par parties (y compris la double intégration par parties de ∫eˣ sin x dx), décomposition en éléments simples, linéarisation, le changement de variable t = tan(x/2) ; intégrales sur un segment par le théorème fondamental, intégrales impropres par un passage à la limite.
Limites : 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — factorisation, quantité conjuguée, équivalents usuels, limites remarquables sin x / x et (1 + 1/x)^x → e, règle de L’Hôpital avec vérification de ses conditions, limites à gauche et à droite.
Chaque résultat est vérifié avant d’être affiché : la dérivée contre une dérivée numérique en 20 points, la primitive par dérivation, l’intégrale par une quadrature, la limite par des valeurs près du point.
Étude de fonction : tangente et normale, sens de variation, extremums, convexité et points d’inflexion, maximum et minimum sur un intervalle fermé, avec la démarche rédigée étape par étape.
Développements limités (formule de Taylor-Young) jusqu’à l’ordre 10, avec le tableau des dérivées au point ; écriture française (cotan, sh, ch, argsh, intervalles ]a ; b[) ; la solution se copie en texte et en LaTeX, s’enregistre en PDF et se partage par un lien ; les exercices d’entraînement par thème vérifient votre propre réponse.

Ce qu’il résout

  • Dérivées : x^2 sin x, (x+1)/(x-1), sin(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctan(1/x), en un point et jusqu’à l’ordre 5
  • Primitives : x e^x, 1/(x^2-5x+6), sin^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Intégrales et intégrales impropres : sin x de 0 à pi, 1/x^2 de 1 à ∞, ln x de 0 à 1
  • Limites : sin(3x)/x quand x → 0, (1+1/x)^x quand x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, limites à gauche et à droite de 1/x en 0
  • Étude de fonction : tangente en un point, extremums, maximum et minimum sur un intervalle
  • Fonctions implicites et paramétrées : x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sin t ; développements limités : e^x, ln(1+x), sin x au voisinage d’un point

Comment saisir une fonction

Les puissances s’écrivent avec ^ ou ² : x^2, x^(1/3), e^(2x). Le signe de multiplication peut être omis : 2x, x sin x, (x+1)(x-1). Les fonctions s’écrivent avec ou sans parenthèses : sin x, sin 2x = sin(2x), sin^2 x, tan x, cotan, arcsin, arctan, sh, ch, ln x, log x (base 10), log_2 x, log(2, x), sqrt(x) ou √x, cbrt(x), |x|. Les constantes sont pi et e, l’infini s’écrit ∞ ou inf. Un énoncé complet peut être collé : ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sin(x)/x. Les autres lettres (a, b, k) sont traitées comme des constantes.

Ce qui le distingue d’une calculatrice qui ne donne que le résultat

N’importe quel logiciel de calcul formel donne le résultat, mais la note porte sur la démarche : quelle règle est appliquée à chaque étape. Ici, les étapes ne sont pas un résumé du résultat mais une suite d’égalités selon les règles du cours : pour une fonction composée, la fonction extérieure et la fonction intérieure sont nommées, pour une intégration par parties, u et dv sont écrits, et pour une limite, la forme indéterminée et la façon de la lever sont indiquées. En plus, chaque résultat est vérifié par un calcul numérique indépendant : si le résultat formel et la vérification ne concordent pas, l’outil le dit au lieu de présenter comme juste un résultat non vérifié.

Questions fréquentes

Pourquoi le résultat est-il ln|x| et non ln x ?

Parce que 1/x est aussi définie pour x négatif, alors que ln x ne l’est pas. La dérivée de ln|x| vaut 1/x sur les deux moitiés de l’axe, donc une primitive de 1/x est ln|x| + C. Écrire ln x ferait perdre la moitié de l’ensemble de définition ; au lycée, on travaille souvent sur ]0 ; +∞[, où ln|x| = ln x. Quand l’expression dans le logarithme est toujours positive — x² + 1, eˣ + 1 —, on n’écrit pas la valeur absolue, et l’outil l’omet aussi.

Mon résultat est différent de celui du corrigé. Lequel est juste ?

Peut-être les deux. Une primitive n’est définie qu’à une constante près : sin²x/2 et −cos 2x/4 diffèrent d’exactement 1/4 et ont la même dérivée. Différentes écritures d’une dérivée peuvent aussi être égales : 2 sin x cos x = sin 2x. Pour vérifier, dérivez votre résultat ou saisissez-le dans l’entraînement : les réponses y sont comparées par leurs valeurs, pas par leur écriture.

Quand ne peut-on pas utiliser la règle de L’Hôpital ?

Quand il n’y a pas de forme indéterminée 0/0 ou ∞/∞ : la règle donne alors un résultat faux. Et quand la limite du quotient des dérivées n’existe pas : pour (x + sin x)/x quand x → +∞, les dérivées donnent (1 + cos x)/1, qui oscille, alors que la limite vaut 1 — on la trouve en divisant terme à terme. L’outil vérifie les deux conditions et dit clairement quand la règle ne s’applique pas.

Pourquoi ne trouve-t-on pas de primitive de e^(−x²) ?

Sa primitive ne s’exprime pas à l’aide des fonctions usuelles : c’est un fait démontré (théorème de Liouville), pas une faiblesse de la calculatrice. Il en va de même pour sin x / x, eˣ/x, 1/ln x et sin x². On définit pour elles des fonctions spéciales — la fonction d’erreur erf, le sinus intégral Si et d’autres. L’intégrale d’une telle fonction sur un intervalle existe pourtant et se calcule numériquement : de −∞ à +∞, l’intégrale de e^(−x²) vaut √π.

Comment trouver le maximum d’une fonction sur un intervalle fermé ?

On calcule la dérivée, on résout f′(x) = 0, on garde les solutions qui appartiennent à l’intervalle et on calcule les valeurs de la fonction aux bornes et en ces points : la plus grande est la réponse. Un maximum local à l’intérieur de l’intervalle n’est pas forcément la plus grande valeur : le maximum peut être atteint en une borne. Indiquez l’intervalle dans le bloc « Étude de la fonction » et la solution est rédigée selon ces étapes.

Pourquoi une primitive s’écrit-elle avec « + C » alors qu’une intégrale donne un nombre ?

Une intégrale indéfinie désigne toutes les primitives à la fois, et elles diffèrent d’une constante : x² et x² + 5 ont la même dérivée 2x. C’est pourquoi on ajoute + C. Dans une intégrale sur [a ; b], le théorème fondamental soustrait la valeur en a de la valeur en b, la constante C disparaît et il reste un nombre.

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