Calculadora de derivadas, integrales y límites paso a paso

Una herramienta en línea que calcula derivadas, integrales indefinidas y definidas y límites de funciones, y muestra la solución como se escribe en el cuaderno: cada paso nombra su regla y escribe la fórmula. La antiderivada se comprueba derivando, la derivada numéricamente y el límite con una tabla de valores cerca del punto, así que puedes verificar el resultado en lugar de creerlo a ciegas.

Cómo calcular una derivada, una integral o un límite

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Elige qué calcular y escribe la función, por ejemplo x^2 sen x o (1+1/x)^x. Debajo del campo verás cómo se interpretó.

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La respuesta y su comprobación aparecen al instante; para una integral definida indica los límites y, para un límite, el punto.

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Debajo de la respuesta están el procedimiento y la gráfica: cambia el nivel de detalle, copia la solución o guarda un PDF.

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Escribe una función y revisa cada regla de la solución

Función

Se lee como:
Ejemplos:
Práctica

Un ejercicio del tema elegido con otros números: resuélvelo en papel y escribe tu respuesta. Vale cualquier forma correcta: 2 sen x cos x y sen 2x son lo mismo, y la constante C de una antiderivada no importa.

Notación
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Funciones

Derivadas hasta de quinto orden por reglas: suma, múltiplo constante, producto, cociente, regla de la cadena con la función externa y la interna señaladas, derivación logarítmica para xˣ; derivadas parciales, funciones implícitas F(x, y) = 0 y curvas paramétricas x(t), y(t) con segunda derivada.
Integrales: integrales inmediatas, sustitución lineal, cambio de variable, integración por partes (incluida la integral cíclica ∫eˣ sen x dx), fracciones parciales, reducción de potencias, la sustitución t = tan(x/2); integrales definidas con el teorema fundamental del cálculo e impropias mediante un límite.
Límites: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞ — factorización, conjugado, infinitésimos equivalentes, los límites notables sen x / x y (1 + 1/x)^x → e, regla de L’Hôpital con verificación de sus condiciones, límites laterales.
Cada resultado se comprueba antes de mostrarse: la derivada contra una derivada numérica en 20 puntos, la antiderivada derivándola, la integral definida con cuadratura numérica y el límite con valores cerca del punto.
Estudio de la función: recta tangente y recta normal, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y puntos de inflexión, y el máximo y el mínimo absolutos en un intervalo cerrado, con el procedimiento escrito paso a paso.
Polinomios de Taylor y de Maclaurin hasta grado 10, con tabla de derivadas en el punto y resto de Peano; notación como en el cuaderno (sen, arcsen, senh); la solución se copia como texto y LaTeX, se guarda en PDF y se comparte con un enlace; los ejercicios de práctica por tema revisan tu propia respuesta.

Qué resuelve

  • Derivadas: x^2 sen x, (x+1)/(x-1), sen(x^2), e^(2x) cos 3x, x^x, arctan(1/x), en un punto y hasta de orden 5
  • Integrales indefinidas: x e^x, 1/(x^2-5x+6), sen^3 x, x/(x^2+1), sqrt(1-x^2), 1/(2+cos x)
  • Integrales definidas e impropias: sen x de 0 a pi, 1/x^2 de 1 a ∞, ln x de 0 a 1
  • Límites: sen(3x)/x cuando x → 0, (1+1/x)^x cuando x → ∞, (sqrt(x+1)-1)/x, límites laterales de 1/x cuando x → 0
  • Estudio de la función: recta tangente en un punto, máximos y mínimos, máximo y mínimo absolutos en un intervalo
  • Implícitas y paramétricas: x^2 + y^2 = 25, x^3 + y^3 = 3xy, x = cos t, y = sen t; series de Taylor: e^x, ln(1+x), sen x centradas en un punto

Cómo escribir una función

Las potencias se escriben con ^ o ²: x^2, x^(1/3), e^(2x). El signo de multiplicación se puede omitir: 2x, x sen x, (x+1)(x-1). Las funciones van con o sin paréntesis: sen x o sin x, sen 2x = sen(2x), sen^2 x, tan x, cot, arcsen, arctan, senh, cosh, ln x, log x (base 10), log_2 x, log(2, x), sqrt(x) o √x, cbrt(x), |x|. Las constantes son pi y e; el infinito, ∞ o inf. Se puede pegar un problema completo: ∫ x^2 dx, ∫_0^1 x^2 dx, d/dx (x^2), lim x→0 sen(x)/x. Las demás letras (a, b, k) se toman como constantes.

En qué se diferencia de una calculadora que solo da el resultado

Cualquier sistema de álgebra computacional da el resultado, pero la calificación es por el procedimiento: qué regla se aplicó en cada paso. Aquí los pasos no son un resumen del resultado, sino una cadena de igualdades según las reglas del libro de texto: en la regla de la cadena se señalan la función externa y la interna, en la integración por partes se escriben u y dv, y en un límite se nombra la forma indeterminada y cómo se resuelve. Además, cada resultado se comprueba con un cálculo numérico independiente: si el resultado simbólico y la comprobación no coinciden, la herramienta lo dice en lugar de presentar como correcto un resultado sin verificar.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la respuesta es ln|x| y no ln x?

Porque 1/x también está definida para x negativos, y ln x no. La derivada de ln|x| es 1/x en las dos mitades del eje, así que la antiderivada de 1/x es ln|x| + C. Si escribieras ln x, perderías la mitad del dominio. Donde la expresión dentro del logaritmo siempre es positiva —x² + 1, eˣ + 1— el valor absoluto no se escribe, y la herramienta también lo omite.

Mi resultado no coincide con el del libro. ¿Cuál está bien?

Quizá los dos. Una antiderivada está definida salvo una constante: sen²x/2 y −cos 2x/4 difieren exactamente en 1/4 y tienen la misma derivada. También son iguales distintas formas de una derivada: 2 sen x cos x = sen 2x. Para comprobarlo, deriva tu resultado o escríbelo en la práctica: ahí las respuestas se comparan por sus valores, no por cómo están escritas.

¿Cuándo no se puede usar la regla de L’Hôpital?

Cuando no hay una forma indeterminada 0/0 o ∞/∞: entonces la regla da un resultado falso. Y cuando el límite del cociente de las derivadas no existe: en (x + sen x)/x cuando x → ∞, las derivadas dan (1 + cos x)/1, que oscila, aunque el límite en sí vale 1; se obtiene dividiendo término a término. La herramienta revisa las dos condiciones y avisa claramente cuando la regla no se puede aplicar.

¿Por qué no se puede calcular la integral de e^(−x²)?

Su antiderivada no se puede escribir con funciones elementales: es un hecho demostrado (teorema de Liouville), no una debilidad de la calculadora. Lo mismo pasa con sen x / x, eˣ/x, 1/ln x y sen x². Para ellas se definen funciones especiales: la función error erf, la función seno integral Si y otras. La integral definida de una función así sí existe y se calcula numéricamente: de −∞ a ∞, la integral de e^(−x²) es igual a √π.

¿Cómo encuentro el máximo absoluto de una función en un intervalo cerrado?

Deriva, resuelve f′(x) = 0, quédate con las raíces que caen dentro del intervalo y evalúa la función en los extremos y en esos puntos: el valor más grande es la respuesta. Un máximo local dentro del intervalo no tiene por qué ser el valor más grande: el máximo puede estar en un extremo. Escribe el intervalo en el bloque «Estudio de la función» y la solución se presenta con estos pasos.

¿Por qué la integral indefinida termina en + C y la definida da un número?

La integral indefinida representa todas las antiderivadas a la vez, y estas difieren en una constante: x² y x² + 5 tienen la misma derivada 2x. Por eso se agrega + C. En la integral definida, el teorema fundamental del cálculo resta el valor en el límite inferior del valor en el límite superior, la C se cancela y queda un número.

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