حاسبة المشتقة والتكامل والنهاية بالحل خطوة بخطوة

حاسبة أونلاين تجد المشتقة والتكامل غير المحدد والمحدد ونهاية الدالة، وتعرض الحل كما يُكتب في الدفتر: كل خطوة تذكر قاعدتها وتكتب صيغتها. يُتحقق من الدالة الأصلية بالاشتقاق، ومن المشتقة عدديًا، ومن النهاية بجدول قيم قرب النقطة، فيمكنك مراجعة الناتج بدل أن تأخذه على الثقة.

كيف تجد المشتقة أو التكامل أو النهاية

1

اختر ما تريد إيجاده واكتب الدالة — مثلًا ‎x^2 sin x‎ أو ‎(1+1/x)^x‎. تحت الحقل يظهر كيف فُهمت الكتابة.

2

يظهر الناتج والتحقق منه فورًا؛ للتكامل المحدد أدخل الحدين، وللنهاية أدخل النقطة.

3

تحت الناتج تظهر خطوات الحل والتمثيل البياني: بدّل مستوى التفصيل، أو انسخ الحل، أو احفظه PDF.

🔥 الأدوات الأكثر استخداماً الآن
🗣️ تحويل النص إلى كلام ✨ محسّن الفيديو ✂️ قص الصوت ✨ تحسين الصوت 🎭 مغيّر الصوت 🎙️ إزالة الصوت 🎬 إنشاء فيديو من ملف صوتي 🎬 قص الفيديو

أدخل الدالة وتابع كل قاعدة في الحل

الدالة

فُهمت على أنها:
أمثلة:
تدريب

مسألة من الموضوع المختار بأعداد أخرى: حلّها في الدفتر ثم اكتب الناتج. تُقبل أي صورة صحيحة — ‎2 sin x cos x‎ و‎sin 2x‎ شيء واحد، والثابت C في الدالة الأصلية لا يهم.

طريقة الكتابة
لا تعرف ماذا تجرّب؟
900+ أداة — افتح أداة عشوائية
🎲 فاجئني

المميزات

المشتقة حتى الرتبة الخامسة بالقواعد: المجموع وحاصل الضرب وناتج القسمة وقاعدة السلسلة مع تسمية الدالة الخارجية والداخلية، والاشتقاق اللوغاريتمي لـ ‎xˣ‎؛ والمشتقات الجزئية، والدالة الضمنية ‎F(x, y) = 0‎، والدالة الوسيطية ‎x(t), y(t)‎ مع المشتقة الثانية.
التكامل: التكاملات الأساسية، والتعويض الخطي، والتكامل بالتعويض، والتكامل بالأجزاء (ومنه الدوري مثل ‎∫eˣ sin x dx‎)، والكسور الجزئية، وصيغ تخفيض القوة، والتعويض ‎t = tan(x/2)‎؛ والتكامل المحدد بالنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، والمعتل عبر النهاية.
النهايات: ‎0/0‎ و‎∞/∞‎ و‎∞ − ∞‎ و‎0·∞‎ و‎1^∞‎ — بالتحليل والضرب في المرافق واللامتناهيات في الصغر المتكافئة ونهاية ‎sin x / x‎ والنهاية التي تعرِّف e، وقاعدة لوبيتال مع التحقق من شروطها، والنهايات من جهة واحدة.
يُتحقق من كل ناتج قبل عرضه: المشتقة بمشتقة عددية في 20 نقطة، والدالة الأصلية بالاشتقاق، والتكامل المحدد بالتكامل العددي، والنهاية بقيم قرب النقطة.
دراسة الدالة: معادلة المماس والعمودي عليه، وفترات التزايد والتناقص، والقيم القصوى المحلية، والتقعر، والقيمتان العظمى والصغرى المطلقتان على فترة مغلقة — مع كتابة الحل خطوة خطوة كما في مسائل الامتحانات المدرسية.
كثيرات حدود تايلور وماكلورين حتى الدرجة 10 مع جدول المشتقات عند النقطة والباقي بصيغة بيانو؛ ويُنسخ الحل نصًا وLaTeX، ويُحفظ PDF، ويُشارك برابط؛ وتمارين حسب الموضوع تصحِّح إجابتك أنت.

ماذا تحل الحاسبة

  • المشتقات: ‎x^2 sin x‎، ‎(x+1)/(x-1)‎، ‎sin(x^2)‎، ‎e^(2x) cos 3x‎، ‎x^x‎، ‎arctan(1/x)‎، عند نقطة وحتى الرتبة 5
  • التكاملات غير المحددة: ‎x e^x‎، ‎1/(x^2-5x+6)‎، ‎sin^3 x‎، ‎x/(x^2+1)‎، ‎sqrt(1-x^2)‎، ‎1/(2+cos x)‎
  • التكاملات المحددة والمعتلة: ‎sin x‎ من 0 إلى pi، ‎1/x^2‎ من 1 إلى ∞، ‎ln x‎ من 0 إلى 1
  • النهايات: ‎sin(3x)/x‎ عندما ‎x → 0‎، ‎(1+1/x)^x‎ عندما ‎x → ∞‎، ‎(sqrt(x+1)-1)/x‎، ونهايتا ‎1/x‎ من الجهتين عندما ‎x → 0‎
  • دراسة الدالة: المماس عند نقطة، والقيم القصوى، والقيمتان العظمى والصغرى المطلقتان على فترة
  • الدوال الضمنية والوسيطية: ‎x^2 + y^2 = 25‎، ‎x^3 + y^3 = 3xy‎، ‎x = cos t, y = sin t‎؛ متسلسلة تايلور: ‎e^x‎، ‎ln(1+x)‎، ‎sin x‎ حول نقطة

كيف تكتب الدالة

القوة بالرمز ^ أو ²: ‎x^2‎، ‎x^(1/3)‎، ‎e^(2x)‎. يمكن حذف علامة الضرب: ‎2x‎، ‎x sin x‎، ‎(x+1)(x-1)‎. الدوال بأقواس أو بدونها: ‎sin x‎، ‎sin 2x = sin(2x)‎، ‎sin^2 x‎، ‎tan x‎، cot، sec، csc، arcsin، arctan، sinh، cosh، ‎ln x‎، ‎log x‎ (للأساس 10)، ‎log_2 x‎، ‎log(2, x)‎، ‎sqrt(x)‎ أو ‎√x‎، ‎cbrt(x)‎، ‎|x|‎. الثابتان pi وe، واللانهاية ∞ أو inf. ويمكن لصق المسألة كاملة: ‎∫ x^2 dx‎، ‎∫_0^1 x^2 dx‎، ‎d/dx (x^2)‎، ‎lim x→0 sin(x)/x‎. الحروف الأخرى (a وb وk) تُعامل ثوابت. الرموز العربية مثل جا وجتا وظا ونها وس لا تُقرأ — اكتب بدلها sin وcos وtan وlim وx.

ما الفرق عن حاسبة تعطي الناتج فقط

أي نظام جبر حاسوبي يعطي الناتج، لكن الدرجة تُمنح على الحل: أي قاعدة طُبّقت في كل خطوة. هنا الخطوات ليست إعادة صياغة للناتج، بل سلسلة مساواة وفق قواعد الكتاب المدرسي — في قاعدة السلسلة تُسمّى الدالة الخارجية والداخلية، وفي التكامل بالأجزاء يُكتب u وdv، وفي النهاية تُسمّى الصيغة غير المحددة وطريقة التخلص منها. ويُتحقق من كل ناتج بحساب عددي مستقل: إذا اختلف الناتج الرمزي عن التحقق تقول الأداة ذلك صراحة بدل أن تقدّم ناتجًا لم يُتحقق منه على أنه صحيح.

الأسئلة الشائعة

لماذا يكون الناتج ‎ln|x|‎ وليس ‎ln x‎؟

لأن ‎1/x‎ معرَّفة أيضًا عند قيم x السالبة، أما ‎ln x‎ فلا. مشتقة ‎ln|x|‎ تساوي ‎1/x‎ على نصفي المحور كليهما، ولذلك فالدالة الأصلية لـ ‎1/x‎ هي ‎ln|x| + C‎. لو كتبنا ‎ln x‎ لضاع نصف مجال الدالة. وحيث يكون ما داخل اللوغاريتم موجبًا دائمًا — ‎x² + 1‎ و‎eˣ + 1‎ — لا تُكتب القيمة المطلقة، والأداة تحذفها أيضًا.

ناتجي يختلف عن ناتج الكتاب المدرسي. أيهما الصحيح؟

ربما كلاهما. الدالة الأصلية محددة بإضافة ثابت: ‎sin²x/2‎ و‎−cos 2x/4‎ تختلفان بمقدار ‎1/4‎ بالضبط ولهما المشتقة نفسها. والصور المختلفة للمشتقة متساوية أيضًا: ‎2 sin x cos x = sin 2x‎. للتحقق اشتق ناتجك أو اكتبه في خانة التدريب: هناك تُقارن الإجابات بقيمها لا بحروفها.

متى لا يجوز استعمال قاعدة لوبيتال؟

عندما لا تكون الصيغة ‎0/0‎ أو ‎∞/∞‎ — فالقاعدة تعطي حينها ناتجًا خاطئًا. وعندما لا تكون نهاية نسبة المشتقتين موجودة: في ‎(x + sin x)/x‎ عندما ‎x → ∞‎ تعطي المشتقتان ‎(1 + cos x)/1‎ وهي تتذبذب، مع أن النهاية نفسها تساوي 1 — وتوجد بالقسمة حدًّا حدًّا. تتحقق الأداة من الشرطين وتقول صراحة متى لا تنطبق القاعدة.

لماذا لا يمكن إيجاد تكامل ‎e^(−x²)‎؟

لأن دالته الأصلية لا تُكتب بالدوال الأولية — وهذه حقيقة مُثبتة (مبرهنة ليوفيل)، لا ضعف في الحاسبة. والأمر نفسه في ‎sin x / x‎ و‎eˣ/x‎ و‎1/ln x‎ و‎sin x²‎. لهذه الدوال تُعرَّف دوال خاصة — دالة الخطأ erf وتكامل الجيب Si وغيرهما. أما التكامل المحدد لمثل هذه الدالة فموجود ويُحسب عدديًا: من ‎−∞‎ إلى ∞ يساوي تكامل ‎e^(−x²)‎ القيمة ‎√π‎.

كيف أجد القيمة العظمى المطلقة لدالة على فترة مغلقة؟

أوجد المشتقة، وحل ‎f′(x) = 0‎، واحتفظ بالجذور الواقعة في الفترة، ثم احسب قيم الدالة عند طرفي الفترة وعند تلك النقاط — أكبرها هي الإجابة. القيمة العظمى المحلية داخل الفترة ليست بالضرورة أكبر قيمة: فقد تقع القيمة العظمى المطلقة عند أحد الطرفين. أدخل الفترة في قسم «دراسة الدالة» فيُكتب الحل بهذه الخطوات.

لماذا ينتهي التكامل غير المحدد بـ ‎+ C‎ بينما يعطي التكامل المحدد عددًا؟

التكامل غير المحدد هو كل الدوال الأصلية دفعة واحدة، وهي تختلف فيما بينها بثابت: ‎x²‎ و‎x² + 5‎ لهما المشتقة نفسها ‎2x‎، ولذلك يُضاف ‎+ C‎. وفي التكامل المحدد تطرح النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل قيمة الدالة الأصلية عند الحد الأدنى من قيمتها عند الحد الأعلى، فيُحذف C ويبقى عدد.

💡 هل تريد أن نحسّن هذه الأداة خصيصاً لك؟

يمكننا ذلك! أرسل لنا رسالة قصيرة بفكرتك. إذا أردت مناقشة التفاصيل، اترك بريدك الإلكتروني وسنتواصل معك. يمكنك البقاء مجهولاً.

قد يعجبك أيضاً

½ حاسبة الكسور 📐 الهندسة مع الرسم 🔢 أنظمة العد مع الحل ➗ العمليات العمودية الأربع خطوة بخطوة 🟰 حل المعادلات خطوة بخطوة ⚗️ حاسبة الكيمياء 🎓 حاسبة درجات EGE 📈 حاسبة رسم الدوال

كيف تقيّم هذه الأداة؟

شكراً لتقييمك!
هل تريد مشاركة المزيد؟ اترك تعليقاً!
شكراً! سيظهر تعليقك بعد المراجعة.
لمن تناسب هذه الأداة؟
🎓 الطلاب 📚 المعلمون والمربون
تاريخ النشر آخر تحديث المؤلف: