Division posée avec les étapes, et aussi multiplication, addition et soustraction posées

Si le nombre obtenu après avoir abaissé un chiffre est encore plus petit que le diviseur, il n’y va pas : on écrit 0 au quotient et on abaisse le chiffre suivant. On a l’impression que deux chiffres descendent ensemble, mais le zéro au quotient est indispensable. Prenons 6120 : 6 : après 6 − 6, on abaisse le 1 — il est plus petit que 6, donc on écrit 0 au quotient et on abaisse le 2 : 12 : 6 = 2. Le résultat est 1020 ; sans le zéro, on obtiendrait 102, dix fois trop peu.

Grâce au premier dividende partiel. Il donne le premier chiffre du quotient, et chaque chiffre restant du dividende en ajoute un de plus. Dans 1234 : 56, le premier dividende partiel est 123 et il reste un chiffre après lui : le quotient a donc deux chiffres. C’est un contrôle pratique : si vous obtenez plus ou moins de chiffres, un zéro a été oublié quelque part.

On rend d’abord le diviseur entier : on décale la virgule vers la droite dans le diviseur et dans le dividende du même nombre de rangs. Le quotient ne change pas, car les deux nombres sont multipliés par la même puissance de dix. 12,5 : 0,25 devient 1250 : 25, et on divise comme d’habitude. Si le dividende manque de chiffres, on ajoute des zéros.

Quand les chiffres du dividende sont épuisés, on ajoute un zéro à côté du reste et on continue. Il y a moins de restes possibles que la valeur du diviseur, donc tôt ou tard un reste revient — et à partir de là les chiffres du quotient tournent en boucle. En France, on surmonte la période d’une barre (0,3̅) ou l’on écrit 0,333… ; en Russie, on la met entre parenthèses : 0,(3). L’écriture décimale ne s’arrête que si le dénominateur de la fraction irréductible n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5.

L’algorithme est le même partout ; seule la présentation change. En France, le trait vertical de la potence descend sur toute la hauteur de l’opération, avec le diviseur en haut à droite et le quotient en dessous. Aux États-Unis, au Royaume-Uni, en Corée et en Indonésie, le diviseur est à gauche d’un crochet et le quotient au-dessus du dividende. En Russie et en Ukraine, c’est un coin, avec le quotient sous le diviseur à droite, et en Allemagne tout s’écrit sur une ligne, « 7854 : 6 = 1309 », les soustractions en dessous. Le sélecteur « Présentation » montre le calcul exactement comme l’attend un enseignant de chaque pays.

On met de côté les zéros de la fin : on pose 2300 × 45 de sorte que 23 soit au-dessus de 45 et que les deux zéros dépassent à droite. On multiplie 23 par 45, ce qui fait 1035, puis on ajoute les deux zéros : 103 500. Quand un zéro se trouve au milieu du multiplicateur, comme dans 305 × 204, on n’écrit pas la ligne de zéros et on décale le produit partiel suivant de deux rangs d’un coup, en écrivant deux zéros de décalage.